Simpatico problemuzzo iraniano(primo round)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Carlein
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Simpatico problemuzzo iraniano(primo round)

Messaggio da Carlein » 26 giu 2008, 16:13

Io l'ho trovato divertente;spero vi divertiate anche voi,non è nè difficile nè però meccanico o stupido(nella mia umile opinione),quindi non è destinato a nessun livello in particolare, ma un pò a tutti :D :
Dimostrare che se $ n $ e $ m $ sono interi tali che $ 3n^2+n=4m^2+m $ allora $ n-m $ è un quadrato perfetto.
buon lavoro!
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nicelbole
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Messaggio da nicelbole » 26 giu 2008, 18:31

Innanzitutto riscrivo l’uguaglianza:
3n^2-3m^2+n-m=m^2
(3n+3m)*(n-m)+(n-m)=m^2
(3n+3m+1)*(n-m)=m^2.

Dimostriamo che non può essere (3n+3m+1,n-m)=d, con d diverso da 1.
Se così fosse, avremmo che d^2 divide (3n+3m+1)*(n-m)=m^2, ovvero d divide m.
Sappiamo che (3n+3m+1,m) divide (3n+1,m) e (n-m,m) divide (n,m). Inoltre ((3n+1,m),(n,m))=1 (perché un’eventuale divisore comune di (3n+1,m) e (n,m) dovrebbe dividere 3n +1 e n, impossibile).
Combinando le due cose si ottiene che ((3n+3m+1,m),(n-m,m))=1. Ma sopra avevamo detto che d divideva 3n+3m+1, n-m, ed m, il che implicherebbe che d divida ((3n+3m+1,m),(n-m,m)).
Dunque d=1; 3n+3m+1 e n-m sono primi tra loro e, essendo il loro prodotto è un quadrato, sono entrambi quadrati.

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jordan
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Messaggio da jordan » 26 giu 2008, 20:20

nicelbole ha scritto:Sappiamo che (3n+3m+1,m) divide (3n+1,m) e (n-m,m) divide (n,m).
soltanto divide?

comunque quando Carlein me lha proposto ho fatto piu o meno la stessa strada tua, ma ce nè una piu bella :D
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Carlein
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Messaggio da Carlein » 26 giu 2008, 20:25

La mia prova nasce dalla mia pigrizia di dimostrare la coprimalità dei fattori di $ m^2 $ che è un'ottima condizione sufficente per concludere come ha fatto nicelbole, e dunque sorvola su questo fatto a questo modo $ n-m=3(m-n)(n+m)+m^2 $ $ = 4(m-n)(n+m)+n^2 $ da cui ricaviamo queste due scritture $ (n-m)(4(n+m)+1)=n^2 $ e $ (n-m)(3(n+m)+1)=m^2 $ ora è facile vedere che $ (4(n+m)+1,3(n+m)+1)=1 $ che implica la tesi,difatti se uno dei fattori di n-m avesse esponente dispari questo fattore(col suo esponente dispari) verrebbe conservato in uno dei due prodotti...
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nicelbole
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Messaggio da nicelbole » 27 giu 2008, 13:53

Bella soluzione!

Inoltre, se non ho preso un abbaglio colossale, mi sembra che tramite il tuo metodo si possa facilmente generalizzare il problema in questo modo:
Sia a*(n^2)+n=(a+1)*(m^2)+m, con a intero positivo, n e m interi. Allora n-m, a*(n+m)+1 e (a+1)*(n+m)+1 sono quadrati.

Carlein
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Messaggio da Carlein » 27 giu 2008, 14:29

si nessun abbaglio,e se non l ho preso nemmeno io si può dare un'altra piccola bottarella di generalità: si mette invece che (a) e (a+1) come coefficenti...a e (a+k^2) imponendo $ (k^2(m+n),a(m+n)+1)=1 $ che significa $ (k^2,a(m+n)+1)=1 $ allora le conclusioni su (n-m) e ovviamente quindi sugli altri due fattori "quadratici" sono le stesse
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