OliForum Matematico

Mostrare che $ \lim \phi (n)=+\infty $, ossia che per ogni M esiste n' tale che n>n' implica $ \phi(n)>M $, ove quella è la funzione di eulero.

Ok ora dirò una cavolata ma non basta tenere conto che dato qualsiasi M esistono infiniti primi maggori di M+1 , la cui funzione di eulero è di conseguenza maggiore di M?

l'Apprendista_Stregone ha scritto:Ok ora dirò una cavolata ma non basta tenere conto che dato qualsiasi M esistono infiniti primi maggori di M+1 , la cui funzione di eulero è di conseguenza maggiore di M?

Devi dimostrare che dato M esiste un N tale che per ogni n>N vale phi(n)>M, non che esistono infiniti n tali che phi(n)>M.

Ah capito...Chiedo scusa per l'errore...

L'avevo anche scritto eh!

$ n = d \cdot 2^a, d\equiv 1 \pmod{2} $
$ \phi(n) = n \prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right) = 2^{a-1} d \prod_{p|d}\left(1-\frac{1}{p}\right) \geq 2^{a-1} \cdot d \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\omega(d)} $
$ \phi(n) \geq 2^{a-1} d^{\frac{\log 2}{\log 3}} \geq \frac{1}{2} n^{\beta>0} $

direttamente $ \phi(n) > \sqrt{n}, \forall n>6 $ ?

ma forse a sto punto dovresti dimostrare questa minorazione

be, se non lho fatto vuol dire che è davvero semplice..
basta che ti scrivi la n nel modo usuale di produttoria e vedere che la tesi non funziona solo se c'è un 2 nella fattorizzazione; e a quel punto hai finito se ci metti che esistono anche altri fattori è che l'unica eccezione è data da un 2 e un 3 di fila..

Oppure, i numeri con phi minore di M contengono fattori primi non maggiori di M, ognuno con esponente minore di $ \log_2 M +1 $, quindi in particolare sono finiti.