lim phi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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pic88
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lim phi

Messaggio da pic88 » 17 giu 2008, 18:41

Mostrare che $ \lim \phi (n)=+\infty $, ossia che per ogni M esiste n' tale che n>n' implica $ \phi(n)>M $, ove quella è la funzione di eulero.

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l'Apprendista_Stregone
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Messaggio da l'Apprendista_Stregone » 18 giu 2008, 16:44

Ok ora dirò una cavolata ma non basta tenere conto che dato qualsiasi M esistono infiniti primi maggori di M+1 , la cui funzione di eulero è di conseguenza maggiore di M? :roll:
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mitchan88
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Messaggio da mitchan88 » 18 giu 2008, 17:21

l'Apprendista_Stregone ha scritto:Ok ora dirò una cavolata ma non basta tenere conto che dato qualsiasi M esistono infiniti primi maggori di M+1 , la cui funzione di eulero è di conseguenza maggiore di M? :roll:
Devi dimostrare che dato M esiste un N tale che per ogni n>N vale phi(n)>M, non che esistono infiniti n tali che phi(n)>M.
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l'Apprendista_Stregone
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Messaggio da l'Apprendista_Stregone » 18 giu 2008, 17:28

Ah capito...Chiedo scusa per l'errore... :oops:
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Messaggio da pic88 » 23 giu 2008, 21:48

L'avevo anche scritto eh! :P

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Messaggio da elianto84 » 24 giu 2008, 23:05

$ n = d \cdot 2^a, d\equiv 1 \pmod{2} $
$ \phi(n) = n \prod_{p|n}\left(1-\frac{1}{p}\right) = 2^{a-1} d \prod_{p|d}\left(1-\frac{1}{p}\right) \geq 2^{a-1} \cdot d \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\omega(d)} $
$ \phi(n) \geq 2^{a-1} d^{\frac{\log 2}{\log 3}} \geq \frac{1}{2} n^{\beta>0} $
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Messaggio da jordan » 25 giu 2008, 00:49

direttamente $ \phi(n) > \sqrt{n}, \forall n>6 $ ? :)
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Messaggio da SkZ » 25 giu 2008, 01:51

ma forse a sto punto dovresti dimostrare questa minorazione
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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jordan
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Messaggio da jordan » 25 giu 2008, 02:06

be, se non lho fatto vuol dire che è davvero semplice..
basta che ti scrivi la n nel modo usuale di produttoria e vedere che la tesi non funziona solo se c'è un 2 nella fattorizzazione; e a quel punto hai finito se ci metti che esistono anche altri fattori è che l'unica eccezione è data da un 2 e un 3 di fila..
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Messaggio da pic88 » 25 giu 2008, 11:36

Oppure, i numeri con phi minore di M contengono fattori primi non maggiori di M, ognuno con esponente minore di $ \log_2 M +1 $, quindi in particolare sono finiti.

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