oggi(come ieri purtroppo) non ho avuto modo di esercitarmi e di a ndare avanti con la teoria però mi sono imbattuto in un problema che mi sta facendo penare:
dato un intero p, dimostrare che qualsiasi primo p diverso da 2, può essere scritto come differenza di due quadrati perfetti.
l'ho dimostrato per $ p=3 $(spero almeno quello ) però in generale non riesco.
penso che per dimostrarlo ci vogliano i residui quadratici ma non avendoli ancora stusdiati approfonditamente ma solo accennati mi è impossibile.
io per 3 ho ragionato così(ditemi se almeno questo è giusto):
considerando x,y interi
dovrebbe essere $ x^2 - Y^2=3 $
ragionando modulo 3
$ x^2 - y^2 \equiv 0 $ $ (mod{3}) $
da cui
$ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod{3}) $
y^2 potrebbe essere 1 in quanto x^2 è sempre congruo 1 modulo 3
da cui, sostituendo x^2 con il minimo valore(diverso da 0 e da 1), cioè 2 si ottiene la tesi per $ p=3 $
cosa devo fare?
mi verrebbe da guardare hai possibili resti modulo p(è da lì che io posso trovare i residui quadratici. sapendo che se p è primo come vuole l'ip., allora nei primi p numeri $ (0,1,2,3,...,p-1) $ si trova che la metà di essi sono residui quadratici. giusto?).
problema sns: primo=a differenza di quadrati
problema sns: primo=a differenza di quadrati
Ultima modifica di matteo16 il 12 giu 2008, 23:43, modificato 1 volta in totale.
Re: problema sns: primo=a differenza di quadrati
non pensoche sia giusta la strada, perche usando il modulo p trovi soluzioni per cui $ x^2-y^2=kp $, quindi non necessariamente con $ k=1 $, nel caso di $ p=3 $, $ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod 3) $ è vero anche per $ (5,4) $ o $ (8,7) $ per esempio...matteo16 ha scritto:oggi(come ieri purtroppo) non ho avuto modo di esercitarmi e di a ndare avanti con la teoria però mi sono imbattuto in un problema che mi sta facendo penare:
dato un intero p, dimostrare che qualsiasi primo p può essere scritto come differenza di due quadrati perfetti.
l'ho dimostrato per $ p=3 $(spero almeno quello ) però in generale non riesco.
penso che per dimostrarlo ci vogliano i residui quadratici ma non avendoli ancora stusdiati approfonditamente ma solo accennati mi è impossibile.
io per 3 ho ragionato così(ditemi se almeno questo è giusto):
considerando x,y interi
dovrebbe essere $ x^2 - Y^2=3 $
ragionando modulo 3
$ x^2 - y^2 \equiv 0 $ $ (mod{3}) $
da cui
$ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod{3}) $
y^2 potrebbe essere 1 in quanto x^2 è sempre congruo 1 modulo 3
da cui, sostituendo x^2 con il minimo valore(diverso da 0 e da 1), cioè 2 si ottiene la tesi per $ p=3 $
cosa devo fare?
mi verrebbe da guardare hai possibili resti modulo p(è da lì che io posso trovare i residui quadratici. sapendo che se p è primo come vuole l'ip., allora nei primi p numeri $ (0,1,2,3,...,p-1) $ si trova che la metà di essi sono residui quadratici. giusto?).
edit: forse ho trovato... dobbiamo dimostrare che $ (x+y)(x-y)=p $, ma essendo p primo, i due coeficienti devo essere uguali, uno a 1 e l'altro a p.
quidni eseguiamo il sistema $ x+y=p $ e $ x-y=1 $ e troviamo
$ x=\frac{p+1}{2} $ e $ y=\frac{p-1}{2} $
che effettivamente, danno come differenza dei quadrati p
ma ogni primo p>2 è dispari, quindi esistono sempre $ x $ e$ y $ naturali che danno soluzione.
p.s. 2 è l'unico primo che non puo essere formato da differenza di quadrati... c'è da fare una correzioncina al testo...
Re: problema sns: primo=a differenza di quadrati
giusto...bella dimostrazione non ci avevo pensato.Stex19 ha scritto:non pensoche sia giusta la strada, perche usando il modulo p trovi soluzioni per cui $ x^2-y^2=kp $, quindi non necessariamente con $ k=1 $, nel caso di $ p=3 $, $ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod 3) $ è vero anche per $ (5,4) $ o $ (8,7) $ per esempio...matteo16 ha scritto:oggi(come ieri purtroppo) non ho avuto modo di esercitarmi e di a ndare avanti con la teoria però mi sono imbattuto in un problema che mi sta facendo penare:
dato un intero p, dimostrare che qualsiasi primo p può essere scritto come differenza di due quadrati perfetti.
l'ho dimostrato per $ p=3 $(spero almeno quello ) però in generale non riesco.
penso che per dimostrarlo ci vogliano i residui quadratici ma non avendoli ancora stusdiati approfonditamente ma solo accennati mi è impossibile.
io per 3 ho ragionato così(ditemi se almeno questo è giusto):
considerando x,y interi
dovrebbe essere $ x^2 - Y^2=3 $
ragionando modulo 3
$ x^2 - y^2 \equiv 0 $ $ (mod{3}) $
da cui
$ x^2 \equiv y^2 $ $ (mod{3}) $
y^2 potrebbe essere 1 in quanto x^2 è sempre congruo 1 modulo 3
da cui, sostituendo x^2 con il minimo valore(diverso da 0 e da 1), cioè 2 si ottiene la tesi per $ p=3 $
cosa devo fare?
mi verrebbe da guardare hai possibili resti modulo p(è da lì che io posso trovare i residui quadratici. sapendo che se p è primo come vuole l'ip., allora nei primi p numeri $ (0,1,2,3,...,p-1) $ si trova che la metà di essi sono residui quadratici. giusto?).
edit: forse ho trovato... dobbiamo dimostrare che $ (x+y)(x-y)=p $, ma essendo p primo, i due coeficienti devo essere uguali, uno a 1 e l'altro a p.
quidni eseguiamo il sistema $ x+y=p $ e $ x-y=1 $ e troviamo
$ x=\frac{p+1}{2} $ e $ y=\frac{p-1}{2} $
che effettivamente, danno come differenza dei quadrati p
ma ogni primo p>2 è dispari, quindi esistono sempre $ x $ e$ y $ naturali che danno soluzione.
p.s. 2 è l'unico primo che non puo essere formato da differenza di quadrati... c'è da fare una correzioncina al testo...
è anche semplice e lineare
questo mi insegna che non tutte le vie di dimostrazione sono sempre complicate e che spesso(parlo per me) si va a cercare dimostrazioni complesse e atruse quando in tre passaggi lineari come hai fatto si può dimostrare la tesi