Provo a dimostrare l'hint di Piever. Premetto che non so ancora usare LaTeX, perciò mi scuso se il testo dovesse risultare poco leggibile.
Sia x un intero tale che x^2 ≡ -5 mod p.
Consideriamo la funzione f(s,t)=((s+tx) mod p), dove s e t sono interi tali che
0<=s, t<= parteintera(SQRT(p)).
Per intenderci definisco: parteintera(SQRT(p))=n
Notiamo che i valori possibili per f(s,t) sono p (i resti modulo p), mentre le possibili coppie (s,t) sono (n+1)^2. Inoltre so che p=(SQRT(p))^2<(n+1)^2.
Dunque, per il teorema dei cassetti, vi sono due coppie (s1,t1) e (s2,t2) distinte tali che f(s1,t1)=f(s2,t2).
Ciò significa che s1+t1*x≡s2+t2*x mod p, ovvero s1-s2 ≡ x(t2-t1) mod p (1).
Abbiamo che -n<=s1-s2<=n e lo stesso vale per t2-t1 (questo per le limitazioni poste per s1,s2,t1 e t2).
Definisco quindi s1-s2 = a, t2-t1=b.
Elevando al quadrato entrambi i membri di (1) si ottiene a^2 ≡ (x^2)*b^2 ≡ -5*b^2 mod p.
Abbiamo allora che a^2+5b^2 ≡ 0 mod p, il che implica a^2+5b^2 = kp, con k intero positivo.
Ma noi sappiamo che a^2<=n^2<(SQRT(p))^2 = p, e lo stesso vale per b^2. Qui la disuguaglianza vale strettamente in quanto p non è mai un quadrato, dunque n< SQRT(p).
Con le disuguaglianze ottenute, troviamo che a^2+5b^2<6p.
Dunque abbiamo 5 possibilità:
- k=1 o k=2 (come ci dice il testo del problema)
- k=3.
In questo caso tenendo presente quali sono i residui quadratici modulo 3, otteniamo che o a^2 ≡ b^2 ≡ 0 mod 3, o a^2≡b^2≡1 mod 3.
Nel primo caso 9 divide il primo membro (a e b sono quadrati, perciò se sono divisibili per 3 lo sono anche per 9), perciò p=3, il che è impossibile, non esistendo a e b che funzionino.
Per il secondo caso non saprei da dove partire.
- k=4.
In questo caso abbiamo per forza che a^2≡b^2≡0 mod 4. Dunque a^2=4c^2, b^2=4d^2, con c e d interi.
Dunque 4c^2+20d^2=4p, da cui c^2+5d^2=p, come richiesto.
- k=5.
Questo implica che: a^2≡b^2≡0 mod 5, a^2≡0 mod 5 e b^2≡1mod 5, o a^2≡0 mod 5 e b^2≡ -1mod 5.
Nel primo caso 25 divide il primo membro, da cui p=5. Ma per p=5 vale il teorema, in quanto 0^2+5*1^2=5.
Nel secondo caso, ho a^2=25*c^2, con c intero: sostituendo, 25c^2+5b^2=5p, da cui b^2+5c^2=p. Il terzo caso è del tutto analogo al secondo.
Rimane solo da sistemare il caso in cui k=3 e a^2≡b^2≡1 mod 3.