da cesenatico 2002....

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
bestiedda
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da cesenatico 2002....

Messaggio da bestiedda » 24 mag 2008, 19:59

con la soluzione tagliata.

dimostrare che se $ 5^n + 3^n +1 $ è primo, allora n è multiplo di 12
marco

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Fedecart
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Messaggio da Fedecart » 24 mag 2008, 21:17

Posso iniziare a risolverla ma non credo riuscirò a finirla. Inoltre è la prima volta che cerco di usare le congruenze in una dimostrazione, perchè le ho iniziate a studiare da poco (tre giorni fa!) quindi perdonatemi e correggetemi se sbaglio malamente, o se la mia dicitura non è formale.

Dunque, guardando quell'espressiome modulo 3, il 3^n scompare, e resta il (5^n)+1. I residui della potenza di 5^n in modulo 3 sono sempre 2 per i n dispari, e 1 per i n pari. Da ciò ne deduciamo che n DEVE ESSERE PARI, perchè se fosse dispari si avrebbe 2+1=0 (mod 3) quindi quel numero sarebbe divisibile per 3 e quindi certamente non primo.
Detto questo guardiamo ora l'espressione in modulo 5. il 5^n scompare, e resta (3^n)+1. I residui della potenza 3^n in modulo 5 (per gli n pari) sono 4 per 2, 6, 10, 14, insomma tutti i numeri della forma 2+4k, dove k è un numero naturale a caso, e sono 1 per 4, 8, 12, 16, in generale tutti i numeri della forma 4k. Da ciò ne deduciamo che n DEVE ESSERE UN NUMERO DELLA FORMA 4K perchè se non lo fosse (se fosse quindi della forma 2+4k) si avrebbe 4+1=0 (mod 5) quindi il numero sarebbe divisibile per 5 e quindi certamente non primo.

E qui mi fermo, non perchè non saprei come fare ma perchè non ho tempo ora. Il mio consiglio, e anche ciò che farò appena posso se nessun'altro risponde e di vedere l'espressione in altri moduli e via via eliminare altri casi fino a rimanere con quello della forma n=k12.

Buon lavoro a tutti

PS A voi che siete bravi in teoria dei numeri, se sono al 100% fuori strada ditemelo!!!

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Fedecart
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Messaggio da Fedecart » 24 mag 2008, 21:36

Ed ecco la seconda parte e la conclusione. l'ho appena fatta. Spero sia giusta!

Leggiamo l'espressione in modulo 7, e vediamo quanto vale in modulo 7 per tutti gli n della forma 4k, cioè 4,8,12,16,20,24,...
n=4, 2+4+1=0 (mod 7) quindi è divisibile per 7, non può essere l'n che cerchiamo
n=8, 4+2+1=0 (mod 7) quindi è divisibile per 7, non può essere l'n che cerchiamo
n=12, 1+1+1=3 (mod7) non è divisibile per 7, potrebbe essere l'n che cerchiamo
n=16, 2+4+1=0 (mod 7) quindi è divisibile per 7, non può essere l'n che cerchiamo
n=20, 4+2+1=0 (mod 7) quindi è divisibile per 7, non può essere l'n che cerchiamo
n=24, 1+1+1=3 (mod 7) non è divisibile per 7, potrebbe essere l'n che cerchiamo
In conclusione per tutti gli n della forma 4k l'espressione data risulta divisibile per 7 e quindi non prima, tranne per i multipli di 12.

Dunque l'espressione è divisibile (quindi non prima) per tutti gli n dispari, come visto in modulo 3, per tutti gli n pari della forma 2+4k, come visto in modulo 5, e per tutti gli n della forma 4k, eccetto i multipli di 12, come visto in modulo 7.
Alla fin fine si può dire che l'espressione data è divisibile per tutti i numeri naturali tranne per i multipli di 12, se quindi l'espressione fosse un numero primo, dovrebbe essere indivisibile e quindi n DEVE ESSERE DELLA FORMA K12, quindi multiplo di 12.

Ancora mi chiedo come abbia potuto risolverlo dato che sono pessimo in teoria dei numeri quindi ancora vi chiedo: ditemi dove ho sbagliato!! =)

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Messaggio da Fedecart » 25 mag 2008, 19:14

Ehi c'è nessuno che mi può dire se la mia risposta è giusta o sbagliata?

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Messaggio da bestiedda » 25 mag 2008, 22:18

per me è tutto corretto...
marco

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Messaggio da Fedecart » 25 mag 2008, 22:32

Ottimo! Sono davvero felice! E' il primo cesenatico che mi riesce al 100%, se davvero la mia risposta è corretta!

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Messaggio da bestiedda » 27 mag 2008, 20:36

volevo chiedere a qualcuno dei "correttori" dei compiti di cesenatico che frequentano il forum se questa dimostrazione sarebbe stata valutata con un eventuale 7 a cesenatico se scritta in questo modo...cioè formulare la dimostrazione in questo modo "abbiamo visto che va bene per n=12, per n=24 quindi abbiamo dimostrato che va bene per ogni multiplo di 12" oppure bisogna generalizzare? scusate la domanda forse un pò "inutile" ma da cesenatico di quest'anno ho il terrore di dare per scontate certe cose perdendo punti preziosi
marco

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Messaggio da salva90 » 27 mag 2008, 20:51

ma no che non va bene, questa è quella che si chiama induzione fisica :? :?

devi formalizzare, accidenti!

comunque qui è diverso visto che stai lavorando coi moduli, ma occhio: agli esponenti devi cambiare modulo (Con quale?)

ps: non te ne frega che vada bene per ogni multiplo di 12, l'importante è che SE qual coso è primo ALLORA n è multiplo di 12 :wink:
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bestiedda
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Messaggio da bestiedda » 27 mag 2008, 21:09

salva90 ha scritto: devi formalizzare, accidenti!
e ora scusa se ti rompo un pò le balle, ma tu come formalizzeresti?
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Messaggio da piever » 27 mag 2008, 21:22

@ salve90: bestiedda aveva chiesto ai correttori di cesenatico, ti sei appena fatto una autogufata mostruosa.... (credo che tutti i correttori siano ex-IMOisti o Normalisti) :P :P

@ bestiedda: bisogna fare almeno 3 casi a mano perché l'induzione sia corretta :lol:

A parte tutto, tu stai cercando di dimostrare che se 12 divide n allora 5^n+3^n+1 è primo. Se anche ci riuscissi (e ne dubito, visto che probabilmente è falso) varrebbe grossomodo 0 punti, perché non è quello che ti hanno chiesto di fare....

Se vuoi esercitarti a formalizzare (anche se forse non sono la persona più azzeccata per darti suggerimenti) prova a scrivere per bene la soluzione di Fedecart che essenzialmente è corretta.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

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Messaggio da salva90 » 27 mag 2008, 21:27

pietro, c'è gente che sa come perdere punti molto meglio di chi li toglie :wink:
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Messaggio da Fedecart » 27 mag 2008, 22:16

Wow mi sono perso qualcosa in questa discussione! Allora, la mia domanda è: è la mia soluzione giusta, o no? Come la scrivereste bene, o formalizzereste? Come forse avrete notato non sono bravissimo in queste cose, ma mi sto esercitando! =)

matteo16
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Re: da cesenatico 2002....

Messaggio da matteo16 » 10 giu 2008, 14:11

bestiedda ha scritto:con la soluzione tagliata.

dimostrare che se $ 5^n + 3^n +1 $ è primo, allora n è multiplo di 12
ho provato a dimostrarlo ma dopo mi blocco
e non so neanche se il procedimento sia giusto

ip: $ 5^n + 3^n +1 $ è primo
ts: n=12m con m intero


se quel trinomio esprime un numero primo allora

$ 5^n + 3^n \equiv 0 $ $ mod2 $
quindi

$ 5^n \equiv -3^n $ $ mod2 $

ciò significa che n deve essere pari quindi $ n=2k $

$ 5^2k+ 3^2k \equiv 0 $ $ mod2 $
quindi

$ 5^2k \equiv -3^2k $ $ mod2 $
e ciò implica che

$ 5^k \equiv -3^k $ $ mod2 $

per cui $ k=2d $

$ n=4d $
quindi n è multiplo di 4 ma poi come faccio ad andare avanti?
e poi sono giusti i passaggi e i ragionamenti?

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Re: da cesenatico 2002....

Messaggio da julio14 » 10 giu 2008, 14:21

matteo16 ha scritto:$ 5^n \equiv -3^n $ $ mod2 $

ciò significa che n deve essere pari quindi $ n=2k $
non ho guardato il resto, ma da quello che scrivi non risulta n pari... due numeri dispari sono abbastanza sempre congruenti modulo due, elevati a qualsiasi esponente... :wink:
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Non sono un uomo Joule!!!

matteo16
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Re: da cesenatico 2002....

Messaggio da matteo16 » 10 giu 2008, 15:12

julio14 ha scritto:
matteo16 ha scritto:$ 5^n \equiv -3^n $ $ mod2 $

ciò significa che n deve essere pari quindi $ n=2k $
non ho guardato il resto, ma da quello che scrivi non risulta n pari... due numeri dispari sono abbastanza sempre congruenti modulo due, elevati a qualsiasi esponente... :wink:
non vorrei dire una buffonata(se è così perdonami) ma affinchè
il resto della divisione per due di quei due numeri (5 e -3) sia uguale
l'esponente non può essere dispari
se no il resto della divisione tra -3 e 2 è -1
affinchè i resti siano uguali, allora, n deve per forza essere pari

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