Cesenatico 2008 - problema 4
Inviato: 12 mag 2008, 22:06
Be', come risuggeritomi da Pig, posto qui anche la mia soluzione di questo, dopo che lui non è stato capace di trovarmi l'errore (ndr, ho avuto la bellezza di 0 punti )
- Determinare tutte le terne (a,b,c) di interi maggiori di zero tali che
$ a^2 + 2^{b+1} = 3^c $
Soluzione:
Ragionando modulo 3 ottengo b pari, da cui ragionando modulo 4 ottengo c pari.
Per $ a=1 $, si ottiene:
$ 2^{b+1}= 3^{c}-1 = (3^{c/2} - 1)(3^{c/2}+1) $
Che ha come sola soluzione la coppia (b,c)=(2,2), poiché $ 3^{c/2}+1=2^d $ , $ 3^{c/2} -1=2^e $, 2^d-2^e=2, da cui $ d=2 $, $ e=1 $ e $ b=2 $)
Per a>1, scrivo $ a=3^{c/2}-k $. Si ottiene:
$ 2k3^{c/2} - k^2 = 2^{b+1} $, da cui k pari, quindi posso scrivere $ k=2k_1 $. Si ottiene:
$ 3^{c/2}k_1 - k_1^2 = k_1(3^{c/2} - k_1) = 2^{b-1} $
Quindi $ k_1=2^n $, da cui:
$ 3^{c/2}=2^{b-1-n} + 2^n $. Per motivi di parità, $ n=0 $, da cui si ottengono le terne $ (n,b,c)=(0,4,4) $, che dà come soluzione la terna $ (7,4,4) $ e $ (n,b,c)=(0,2,2) $, che dà come soluzione la terna $ (1,2,2) $; oppure $ n=b-1 $, da cui si ottengono le terne $ (n,b,c,)=(1,2,2) $, che dà la terna $ (1,2,2) $ e $ (n,b,c)=(3,4,4) $, che dà la terna $ (7,4,4) $
In gara, in particolare, dopo essere arrivato alle terne $ (n,b,c) $ mi era sfuggita la soluzione $ (7,4,4) $, probabilmente per errori di conto, ma dubito che gli 0 punti fossero dovuti a questo.
- Determinare tutte le terne (a,b,c) di interi maggiori di zero tali che
$ a^2 + 2^{b+1} = 3^c $
Soluzione:
Ragionando modulo 3 ottengo b pari, da cui ragionando modulo 4 ottengo c pari.
Per $ a=1 $, si ottiene:
$ 2^{b+1}= 3^{c}-1 = (3^{c/2} - 1)(3^{c/2}+1) $
Che ha come sola soluzione la coppia (b,c)=(2,2), poiché $ 3^{c/2}+1=2^d $ , $ 3^{c/2} -1=2^e $, 2^d-2^e=2, da cui $ d=2 $, $ e=1 $ e $ b=2 $)
Per a>1, scrivo $ a=3^{c/2}-k $. Si ottiene:
$ 2k3^{c/2} - k^2 = 2^{b+1} $, da cui k pari, quindi posso scrivere $ k=2k_1 $. Si ottiene:
$ 3^{c/2}k_1 - k_1^2 = k_1(3^{c/2} - k_1) = 2^{b-1} $
Quindi $ k_1=2^n $, da cui:
$ 3^{c/2}=2^{b-1-n} + 2^n $. Per motivi di parità, $ n=0 $, da cui si ottengono le terne $ (n,b,c)=(0,4,4) $, che dà come soluzione la terna $ (7,4,4) $ e $ (n,b,c)=(0,2,2) $, che dà come soluzione la terna $ (1,2,2) $; oppure $ n=b-1 $, da cui si ottengono le terne $ (n,b,c,)=(1,2,2) $, che dà la terna $ (1,2,2) $ e $ (n,b,c)=(3,4,4) $, che dà la terna $ (7,4,4) $
In gara, in particolare, dopo essere arrivato alle terne $ (n,b,c) $ mi era sfuggita la soluzione $ (7,4,4) $, probabilmente per errori di conto, ma dubito che gli 0 punti fossero dovuti a questo.