a^2+3^b=2^c

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
mod_2
Messaggi: 726
Iscritto il: 18 ago 2007, 20:26
Località: In fondo a destra

a^2+3^b=2^c

Messaggio da mod_2 » 12 mag 2008, 16:35

Trovare tutte le terne (a, b, c) di interi positivi tali che $ $a^2+3^b=2^c $

molto simile a quello di Cesenatico di quest'anno, l'idea di partenza è più o meno la stessa...
Appassionatamente BTA 197!

Avatar utente
Desmo90
Messaggi: 160
Iscritto il: 17 lug 2007, 16:23
Località: sulla retta critica a nord di 1/2

Messaggio da Desmo90 » 12 mag 2008, 18:02

ragionando modulo 3 LHS $ \equiv 1 mod3 $ quindi $ c $ è pari.
Vediamo quindi la differenza di quadrati e ponendo $ c=2d $ otteniamo il sistema $ \displaystyle\\ 2^d+a=3^x \\ 2^d-a=3^y\\ $ dove $ x+y=b $ facendo la differenza otteniamo $ 3^x-3^y=2a $ e perciò $ y=0 $, mentre facendo la somma otteniamo $ 3^x+3^y=2^{d+1} $ , $ 3^x=2^{d+1}-1 $ allora d è dispari , ponendo $ d=2f-1 $ otteniamo il sistema $ \displaystyle\\ 3^w=2^f+1 \\ 3^z=2^f-1\\ $ dove $ w+z=x $ facendo la differenza si ha $ 2=3^w-3^z $ che ha come uniche soluzioni $ w=1 e z=0 $ ora rifacendo tutte le sostituzioni al contrario otteniamo che l' unica soluzione è $ a=1, b=1, c=2 $
Spero che sia giusta, visto che in quel cesenatico ho fatto zero punti.

Avatar utente
mod_2
Messaggi: 726
Iscritto il: 18 ago 2007, 20:26
Località: In fondo a destra

Messaggio da mod_2 » 18 mag 2008, 20:03

Sì, sì
per il $ $\pmod 3 $

Codice: Seleziona tutto

\pmod 3
:wink:
Grazie Eucla!
Appassionatamente BTA 197!

Stex19
Messaggi: 139
Iscritto il: 26 mar 2008, 15:12
Località: Genova

Messaggio da Stex19 » 18 mag 2008, 22:05

perchè se $ $3^x-3^y=2a $ allora $ $y=0 $??
non potrebbe essere per esempio (2;1)??

Avatar utente
julio14
Messaggi: 1206
Iscritto il: 11 dic 2006, 18:52
Località: Pisa

Messaggio da julio14 » 18 mag 2008, 22:19

Perchè a non è divisibile per 3 :wink:
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Non sono un uomo Joule!!!

Stex19
Messaggi: 139
Iscritto il: 26 mar 2008, 15:12
Località: Genova

Messaggio da Stex19 » 19 mag 2008, 14:47

julio14 ha scritto:Perchè a non è divisibile per 3 :wink:
giusto... :oops:

Rispondi