Polinomio Intero e Valori Composti

[luca88]

Sia $ f: \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} $ un polinomio non costante a coefficienti interi. Dimostrare che:

1. $ f(\mathbb{Z}) $ contiene infiniti valori composti

2. ci sono infiniti primi $ p $ per i quali esiste $ x_p $ tale che $ f(x_p) \equiv 0 \mbox{ mod } p $

[jordan]

Sia $ f: \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} $ un polinomio non costante a coefficienti interi. Dimostrare che:

1. $ f(\mathbb{Z}) $ contiene infiniti valori composti

Una versione più debole è reperibile qui. Ipotizziamo che la tesi sia falsa per assurdo, per cui esiste $ v \in \mathbb{N} $ tale che $ f(n) \in \mathbb{P} $ per ogni $ n \ge v $. Sia $ f(v):=q \in \mathbb{P} $, inoltre $ p \mid f(v+kp)-f(v) $ per ogni $ k \in \mathbb{Z} $, ciò significa che $ |f(v+kp)|=q $ per ogni $ k \in \mathbb{Z} $, ma è assurdo in quanto $ \lim_{x \to +\infty}{|f(x)|}=+\infty $.[]

2. ci sono infiniti primi $ p $ per i quali esiste $ x_p $ tale che $ f(x_p) \equiv 0 \mbox{ mod } p $

Generalizzazione, da qui

Sia $ f(\cdot) : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ definitivamente monotòna strettamente crescente tale che scelto $ k \in \mathbb{N} $ arbitrariamente grande abbiamo $ f(x) < e^{\sqrt[k]{x}} $ definitivamente. Dimostrare che $ |\{p \in \mathbb{P} : \exists \, n \in \mathbb{N} : p \mid f(n)\}| = +\infty $.

Note. i) $ \mathbb{N} := \{1, 2, \dots\} $. ii) Si dice che una proprietà $ \mathcal{P}(x) $ vale definitivamente se esiste $ v \in \mathbb{N} $ tale che $ \mathcal{P}(x) $ vale per ogni $ x \geq v $.

Poniamo per assurdo che l’insieme di tali primi sia finito $ S:=\{p_1,p_2,\ldots,p_n\} $, e siano definiti per ogni $ x \in \mathbb{N} $ gli insiemi $ A(x):=\{i \le x: i \in \mathbb{N} \text{ e } \exists j \in \mathbb{N} \text{ tale che } f(j)=i \} $ e $ B(x):=\{i \le x: i \in \mathbb{N} \text{ e } \forall p \in \mathbb{P} \text{ tale che } p \mid i \implies p \in S\} $. Per ogni intero in $ B(x) $ abbiamo che $ p_j^{a_j} \le \prod_{j=1}^n{p_j^{a_j}}:= i \le x $ per cui ovviamente $ a_j \le \left \lfloor \frac{\ln(x)}{\ln(p_j)} \right \rfloor $. Adesso $ k $ può essere scelto arbitrariamente grande per cui possiamo porre $ k>n+1 $ cosicchè $ |A(x)| > (\ln(x))^{n+1} $ definitivamente. E’ quindi verificata (definitivamente) la seguente catena di disuguaglianze: $ \displaystyle (\ln(x))^{n+1} < |A(x)| \le |B(x)| \le $$ \displaystyle \prod_{j=1}^n{(a_j+1)} $$ \displaystyle \le \prod_{j=1}^n{(1+ \frac{\ln(x)}{\ln(p_j)})} < C(\ln(x))^n $ per qualche $ C>0 $ fissato. Ma ciò è falso per ogni $ x $ sufficientemente grande. (Corollario: Ogni polinomio non costante p(x) soddisfa le ipotesi del problema.)[]