Cesenatico 1992/3

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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mod_2
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Cesenatico 1992/3

Messaggio da mod_2 » 06 mag 2008, 20:05

Per ogni numero naturale $ $n $ sia $ $n! = 1*2*3 ....n $ il prodotto di tutti i numeri interi da $ $1 $ a $ $n $. Si dimostri che per ogni n ≥ 3 esistono $ $n $ interi positivi distinti $ $d_1 , d_2 , . . . , d_n $ , divisori di $ $n! $, tali che: $ $n! = d_1 + d_2 + ... + d_n $

Raccogliere, raccogliere
EDIT: veramente non è proprio un raccoglimento, anzi, è giusto l'incontrario...
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julio14
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Messaggio da julio14 » 06 mag 2008, 20:43

Induzione
per n=3 funziona {1;2;3}.
Nel primo insieme ho un 1, dimostro che da un insieme di n elementi con le caratteristiche richiste e con un 1 è possibile creare l'insieme di n+1 con ancora un 1.
$ $d_1=1 $
$ $1+d_2+...+d_n=n! $
$ $(n+1)\cdot1+(n+1)d_2+...+(n+1)d_n=(n+1)\cdot n! $
$ $1+n+(n+1)d_2+...+(n+1)d_n=(n+1)! $
$ $d_i|n!\rightarrow (n+1)d_i|(n+1)! $
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
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Desmo90
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Messaggio da Desmo90 » 06 mag 2008, 20:46

Usiamo il principio di induzione.
vediamo che per $ n=3 $, $ 3!=1+2+3 $ ok
Ora supponiamo che la tesi sia vera per $ n=a $.
Se $ n=(a+1) $ allora $ (a+1)!=(a+1)a!=(a+1)(d_1+d_2+...+d_a) $
Se $ d_1=1 $ allora $ (a+1)!=1+a+(a+1)d_1+(a+1)d_2+....+(a+1)d_a $ questa esperessione soddisfa la tesi.
Vediamo anche che $ d_1=1 $ per 3 e per a+1 e quindi per ogni n
Secondo voi va bene come ho utilizzato il principio di induzione?
Ultima modifica di Desmo90 il 06 mag 2008, 20:52, modificato 1 volta in totale.

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mod_2
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Messaggio da mod_2 » 06 mag 2008, 20:49

Edhai, me lo bruci in pochi minuti.... :lol:
ciau!
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julio14
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Messaggio da julio14 » 06 mag 2008, 20:54

Desmo90 ha scritto:Secondo voi va bene come ho utilizzato il principio di induzione?
Si che va bene :D
manca solo meno di mezza riga per dire che i nuovi d_i dividono (n+1)! :wink:
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