240| a^4-b^4

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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EUCLA
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240| a^4-b^4

Messaggio da EUCLA » 22 apr 2008, 22:17

Siano $ a,b $ due primi di almeno due cifre, tali che $ a>b $.

Dimostrare che $ 240|a^4-b^4 $


Bonus question: 240 è il massimo numero con questa proprietà.

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pi_greco_quadro
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Messaggio da pi_greco_quadro » 22 apr 2008, 23:18

dunque

$ 240=16*3*5 $ inoltre, poiché a,b>5 vale $ a^4-b^4\equiv 0\pmod {16} $, $ a^4-b^4\equiv 0\pmod 3 $, $ a^4-b^4\equiv 0\pmod 5 $ quindi per il teorema cinese del resto si conclude.

Inoltre $ 13^4-11^4=240*2*29 $ ma $ 17^4-13^4=240*229 $ (beate calcolatrici :wink: ) e si da il caso che $ 29\not \mid 229 $ dunque $ 240 $ è il più grande intero con quelle proprietà. 8)
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jordan
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Messaggio da jordan » 23 apr 2008, 00:15

da mathlink con furore :lol:
(sinceramente mi meraviglio di come ce l'abbiano messo in prima pagina poi)
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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 23 apr 2008, 12:46

Eddai era facilino, ma istruttivo, se non sbaglio ci dettero un esercizio simile al senior.
Uhm..magari facevo meglio a scriverlo che era facile :roll:

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Goldrake
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Messaggio da Goldrake » 25 apr 2008, 13:31

pi_greco_quadro ha scritto: poiché a,b>5 vale $ a^4-b^4\equiv 0\pmod {16} $, $ a^4-b^4\equiv 0\pmod 3 $, $ a^4-b^4\equiv 0\pmod 5 $
Ciao,
come si dimostrano quelle relazioni?
Scusate l'incompetenza,
buon 25 Aprile :wink:

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giove
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Messaggio da giove » 25 apr 2008, 13:42

Se $ a $ è dispari, $ a^4 \equiv 1 \mod 16 $.
Se $ a $ non è multiplo di 3, $ a^4\equiv 1 \mod 3 $.
Se $ a $ non è multiplo di 5, $ a^4 \equiv 1 \mod 5 $.

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Goldrake
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Messaggio da Goldrake » 28 apr 2008, 21:51

Grazie mille.
Approfitto per levarmi un dubbio relativo alle congruenze.
Tu dici
$ a^4\equiv1 \mod16 $
ecco, io so che
$ a^8\equiv1 \mod16 $ per Eulero-Fermat, da questo come posso dedurre che
$ a^4\equiv1 $
e non -1?

Scusa il disturbo,
ciao.

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salva90
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Messaggio da salva90 » 28 apr 2008, 21:59

fatto noto: una quarta potenza modulo 16 vale o 0 o 1.

lo si dimostra, ad esempio, facendo a mano tutti i casi dispari possibili. i pari è ovvio che fanno 0 :lol: [/tex]
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Goldrake
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Messaggio da Goldrake » 28 apr 2008, 23:29

Ok, grazie per la risposta :wink:
Alla prossima.

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