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Dimostrazione
Inviato: 15 apr 2008, 00:32
da kn
Come si può risolvere un esercizio del genere?
<html>
Dimostrare che esistono n numeri naturali consecutivi
a1, a2, …, an tali che pk
divide ak ma pk^2 non divide ak
( 0 < k ≤ n e p1, p2, …, pn
numeri primi tutti diversi fra loro).
Inviato: 15 apr 2008, 14:34
da FeddyStra
Il modo più semplice di dire che $ p\mid n\wedge p^2\nmid n $ è imporre $ n\equiv p\pmod{p^2} $.
Utilizziamo allora questo fatto e construiamo il seguente sistema di congruenze:
$ \left\{\begin{array}{c}{a_1\equiv p_1\pmod{p_1^2}\\\dots\\a_n\equiv p_n\pmod{p_n^2}}\end{array} $
Dal momento che i numeri $ a_1,\dots,a_n $ sono consecutivi, possiamo scrivere $ a_k=x+k $ dove $ x $ è un numero fissato.
Il nostro sistema allora diventa
$ \left\{\begin{array}{c}{x+1\equiv p_1\pmod{p_1^2}\\\dots\\x+n\equiv p_n\pmod{p_n^2}}\end{array} $ ovvero $ \left\{\begin{array}{c}{x\equiv p_1-1\pmod{p_1^2}\\\dots\\x\equiv p_n-n\pmod{p_n^2}}\end{array} $
L'esistenza di una soluzione per un siffatto sistema ci è garantita dal Teorema Cinese del Resto.