Congettura per stabilire se un numero non è primo

[Explorer]

Se il quoziente di a/b ha un periodo lungo "c" e (b-1)/c da un quoziente che non è intero allora b non è primo.
"a" e "b" sono due numeri interi primi fra loro.

Ad esempio 2/57 da il quoziente 0,035087719298245614 che ha un periodo di 18 cifre e siccome
(57-1)/18 = 3,1 , visto che 3,1 non è intero allora 57 non è primo.
Preciso che questa congettura non determina se b è primo ma determina se b non è primo, dato che la congettura non riesce ad identificare tutti i numeri che non sono primi.
I numeri non primi che la congettura non riesce ad individuare tra l'intervallo 3-5000 ( da dove sono stati esclusi i numeri pari e i multipli di 5 ) sono 9 - 33 - 91 - 99 - 259 - 451 - 481 - 561 - 657 - 703 - 909 - 1233 - 1729 -
2409 - 2821 - 2981- 3333 - 3367 - 4141 - 4187 - 4521 -

I numeri di Carmichael sono un sottoinsieme dell'insieme di numeri non primi, che la congettura non riesce ad individuare.

Gradirei ricevere argomentazioni o dimostrazioni su questa mia congettura. Grazie in anticipo.

[fph]

Buona osservazione, troverei interessante capire in che modo sei arrivato a formularla (e in che modo hai notato che i Carmichael non vanno bene), se hai voglia di scriverlo.
In ogni caso, hint per la dimostrazione: hai già fatto un'osservazione utilissima, sia i primi che i numeri di Carmichael soddisfano la condizione. I numeri di Carmichael sono quelli che non sono primi ma per cui funziona lo stesso il piccolo teorema di Fermat. Quindi, un buon "guess" è che per dimostrare la tua congettura serva proprio...

[Explorer]

Buona osservazione, troverei interessante capire in che modo sei arrivato a formularla (e in che modo hai notato che i Carmichael non vanno bene), se hai voglia di scriverlo.
...

Premesso che sono sempre stato affascinato dai numeri primi e mi piace studiarli.

La cosa ha avuto inizio quando mi sono chiesto, qual è il limite massimo di cifre che può avere un periodo?

Il limite massimo del numero di cifre del periodo è determinato sempre dal divisore e a/b avrà sempre un quoziente con un periodo massimo di cifre b-1, visto che la lunghezza del periodo è determinata dai resti della divisione e quando il resto di una divisione si ripete inizia il periodo e i resti di una divisione non possono essere maggiore di b-1

La domanda successiva che mi sono posto è, di a/b quali sono i numeri b che riescono a fornire il limite massimo del periodo e cioè b-1?
Mi sono accorto che alcuni numeri primi hanno questa caratteristica, ad esempio 2/7 da un quoziente con un periodo di 6 cifre 2/17 ne ha uno di 16 e 2/23 ne ha uno di 22 e così via.

Altra domanda che mi sono posto è, se a/b ha un quoziente con un periodo lungo b-1, "b" è sempre primo?

Hanno attirato la mia attenzione anche altri numeri primi che hanno una caratteristica simile e cioè determinano un periodo lungo (b-1)/2 questi primi sono 13, 31, 43, 67, 71 ecc.

Ma ogni volta che a/b ha un quoziente con un periodo lungo (b-1)/2 , b è primo?
Quindi mi sono chiesto se i primi si comportano sempre in modo particolare nel determinare il periodo e visto che i numeri primi che avevo verificato davano un periodo lungo un multiplo di (b-1) allora ho azzardato che, "se il quoziente di a/b ha un periodo lungo c e (b-1)/c mi da un numero intero allora b è primo". Che risulta essere falso da 1 a 5000 per i seguenti numeri 9 - 33 - 91 - 99 - 259 - 451 - 481 - 561 - 657 - 703 - 909 - 1233 - 1729 - 2409 - 2821 - 2981- 3333 - 3367 - 4141 - 4187 - 4521 -

Da qui la congettura che risulta essere vera, "se il quoziente di a/b ha un periodo lungo "c" e (b-1)/c da un quoziente che non è intero allora b non è primo. "a" e "b" sono due numeri interi primi fra loro"

Come mi sono accorto che la congettura tratta tutti i numeri di Carmichael come se fossero primi?
Ho posto un argomento simile in un altro forum e un utente mi ha fatto notare che tra i numeri composti che non sono stati trovati dalla congettura ci sono parecchi numeri di Carmichael. Ho intuito che in quell'insieme potrebbero esserci tutti i numeri di Carmichael dato che tra quelli che io avevo proposto nel forum avevo escluso a priori i multipli di 5, che sono ovviamente numeri composti facilmente riconoscibili, quindi ho adattato la congettura anche sui multipli di 5 e ho costatato che la congettura tratta anche i numeri di Carmichael multipli di 5 come se fossero primi.

La domanda che mi sto ponendo adesso è la seguente, come faccio a distinguere l'insieme dei numeri Carmichael dall'insieme dei numeri composti che la congettura non riesce ad identificare? Se si riuscisse a rispondere a questa domanda allora si ha un metodo per trovare tutti i numeri di Carmichael .

[Explorer]

Secondo voi se questa congettura venisse dimostrata sarebbe di particolare importanza per lo studio della teoria dei numeri?

[FrancescoVeneziano]

La tua congettura in realtà è un esercizio piuttosto semplice che puoi dimostrare tu stesso, come suggeriva fph, utilizzando il piccolo teorema di Fermat; devi soltanto capire come esprimere in termini di b la lunghezza del periodo della frazione 1/b.

Dalla dimostrazione seguirà che usare la tua osservazione come test di primalità non è altro che questo test utilizzando sempre a=10.

[ev373]

Mi sono appena iscritto all'OliForum Matematico, e sono felice di aver trovato subito un matematico che si sta occupando di ciò che io sto studiando dal 2002.

Oltre ai numeri pari ed i multipli di 5 , io ho escluso dalla mia ricerca anche i multipli di 3 subito identificabili facendo la somma delle cifre, ed ho trovato tutti i 219 numeri che ho chiamato V , non primi, minori di 1.000.000 il cui reciproco è un numero decimale periodico con un periodo di k cifre, ed è risultato:
( V - 1 ) / k n° intero

219 rispetto ai 78498 numeri primi tra 1 e 1.000.000 , mi sembra un numero abbastanza piccolo per poter parlare di alta percentuale di validità della congettura.
Ora sto lavorando sulla possibilità di definire una disequazione:
( V - 1 ) / k < x
Precisando una x = f(V) da affiancare alla congettura, essa diventa più forte.
Il più piccolo valore di x è 15 trovato per V = 91 , e per tutti i numeri primi < 91 , è sempre x < 15.

Sono arrivato a calcolare x per i primi 1300 numeri primi, e sto proseguendo confrontando i valori di x con quelli dei 219 numeri V.

Ho trovato delle formule per calcolare il numero delle cifre del periodo del numero decimale periodico equivalente al reciproco di un numero qualsiasi N , conoscendo la sua scomposizione in fattori primi ed il valore di k dei singoli fattori primi.

Ecco i primi 20 numeri V con tra parentesi il n° delle cifre del periodo del numero decimale periodico equivalente al loro reciproco:
91 (6) , 259 (6) , 451 (10) , 481 (6) , 703 (18) ,
1729 (18) , 2821 (30) , 2981 (10) , 3367 (6) , 4141 (20) ,
4187 (13) , 5461 (42) , 6533 (46) , 6541 (30) , 6601 (330) ,
7471 (30) , 7777 (12) , 8149 (28) , 8401 (15) , 8911 (198)
quindi 20 numeri V su 1229 numeri primi tra 1 e 10000.

Qualcuno è interessato ad altri risultati che ho trovato ?

[fph]

Se siete interessati a questi argomenti (fin dal 2002 ), vi consiglio di mettervi a studiare un po' di "undergraduate algebra" prima (nozioni su gruppi, campi, anelli, per intederci i primi due semestri di algebra di un qualunque corso di matematica in un'università) e un po' di teoria dei numeri dopo.
Purtroppo sono passati da qualche secolo i tempi in cui ci si poteva mettere a fare ricerca matematica così senza studiare nulla, in algebra e teoria dei numeri specialmente i problemi interessanti che uno si può porre "senza saperne nulla" o sono problemi aperti (vedi congettura di Goldbach) o se li sono già mangiati per colazione ai tempi di Fermat e Gauss.
Andare avanti così vi può portare solo ad altri equivoci come quello di questo thread: quella che per Explorer è una "congettura forse importante" in realtà per chi ha solide conoscenze di teoria alle spalle come Francesco è un "esercizio piuttosto semplice".

Se avete voglia di raccogliere il consiglio, aprite un thread in matematica non elementare e molti utenti del forum saranno felici di consigliarvi un buon libro su cui studiare l'algebra (lo farei direttamente io, ma non sono del campo e in questo momento mi viene in mente solo l'Hernstein che in realtà è un po' ostico...)

In bocca al lupo, ciao

[Explorer]

La matematica è qualcosa di così profondo che anche essendo in superficie posso risultare più in profondità di chi si trova nelle profondità abissali.

[Nonno Bassotto]

Tutto cio' suona bene
Pero' davvero ti conviene studiare un po' di teoria: la tua congettura e' un fatto noto, che si dimostra con metodi standard.

[Explorer]

Tutto cio' suona bene
Pero' davvero ti conviene studiare un po' di teoria: la tua congettura e' un fatto noto, che si dimostra con metodi standard.

Non ho la pretesa di credere di aver detto qualcosa di nuovo, per questo ho chiesto il parere degli esperti.
Devo aggiungere che ci sono stati parecchi laureati in matematica che non hanno saputo rispondere, forse questo vuol dire che quello che ho detto non è poi così scontato, il fatto che si dimostra con metodi standard anche questo è un dato appurato, ma toglimi una curiosità, mi mostri qualcosa che fa comprendere a un inesperto di matematica come me che questa congettura è un fatto noto?

[EvaristeG]

Explorer, quello che stava cercando di dirti nonno bassotto (o forse più a ev373) era che per affrontare questi problemi conviene studiare la teoria già fatta, sistemata e scritta, parallelamente ai propri tentativi.
Parafrasando Newton, guardiamo lontano perchè siamo saliti sulle spalle dei giganti... inoltre, il fatto noto in questione non è un tecnicismo riservato a 5 esperti del settore, è davvero un fatto che dovrebbe essere noto a chiunque abbia dato un esame di algebra in cui compaiano le congruenze.
Non penso avesse intenzione di offenderti o provocarti in nessun modo.
In particolare, mi associo ai consigli di fph.

[Nonno Bassotto]

Non avevo davvero intenzione di essere provocatorio, volevo solo ribadire molto in sintesi quanto era stato già detto prima, perché mi era parso che la risposta di Explorer suonasse come "non ho intenzione di ascoltare i vostri consigli". Se ho frainteso me ne scuso, volevo abbassare i toni, non alzarli

[Explorer]

Non avevo davvero intenzione di essere provocatorio, volevo solo ribadire molto in sintesi quanto era stato già detto prima, perché mi era parso che la risposta di Explorer suonasse come "non ho intenzione di ascoltare i vostri consigli". Se ho frainteso me ne scuso, volevo abbassare i toni, non alzarli

Non è nemmeno mia intenzione alzare i toni, leggendo la tua affermazione che la congettura che ho espresso era un fatto noto, ho colto l'occasione per farti una domanda la cui risposta, se ci fosse stata mi avrebbe tolto un altro dubbio e cioè, "come puoi farmi comprendere che era un fatto noto"? Poter dimostrare la congettura con una certa semplicità non mi sembra una risposta che giustifichi la tua affermazione che "era un fatto noto". Altrimenti vorrebbe dire che se un dilettante oggi riuscisse a dimostrare con una certa semplicità la congettura di Goldbach allora si potrebbe anche affermare che era una questione probabilmente già nota e risolta persino fin dai tempi della scuola Pitagorica.
Non è la puntualizzazione di uno che vuole sollevare polemiche o essere presuntuoso è semplicemente la puntualizzazione di un inesperto di matematica che ha voglia di conoscere.
Non sto per lanciare una sfida, ma se sei convinto che un inesperto in matematica non possa sollevare questioni importanti sulla teoria dei numeri se prima non ha acquisito la teoria già fatta, allora per coerenza chi ha la conoscenza della teoria già fatta dovrebbe rispondere sempre con una certa facilità a tutte le domande poste dal non esperto. Per questo vi consegno questo quesito posto da chi conoscenza della teoria già acquisita ne ha davvero poca, viewtopic.php?t=10649

[EvaristeG]

Explorer ... per sapere quali sono i fatti noti, bisogna studiare la teoria.
Un fatto noto è una conoscenza comune a tutti quelli che studiano quel campo.
Il piccolo teorema di fermat, ovvero che $ n^{p-1} $ ha resto 1 se diviso per $ p $ per ogni n non multiplo di p e per ogni p primo, è una cosa che tutti quelli che studiano teoria dei numeri sanno.
Nessuno dice che un dilettante non possa sollevare problemi interessanti in teoria dei numeri, anzi, se leggi attentamente l'intervento di fph noterai che lui ha affermato proprio il contrario: un dilettante propone problemi che possono essere espressi in un linguaggio semplice e non tecnico, ma questi di solito sono o cose note alla comunità matematica da 200 anni oppure congetture tuttora irrisolte (e di solito anch'esse vecchie di qlc centinaio d'anni).

[fph]

Cercando con google "length period", dopo due utili pagine sulla durata del ciclo mestruale, il terzo risultato parla della lunghezza del periodo di un decimale (e dice che i risultati che riporta sono "immediate conseguenze del piccolo teorema di Fermat").
Altrimenti, uno dei siti migliori dove trovare riferimenti a materiale matematico è Mathworld, che consigliamo di consultare anche su questo forum prima di chiedere qualcosa in un nuovo thread. Su Mathworld, sempre cercando "period length", si arriva facilmente alla pagina Decimal Expansion, dove si trovano elencati diversi risultati sulla lunghezza del periodo, con link di approfondimento e riferimenti bibliografici. Verso metà della pagina c'è anche la risposta alla tua domanda dell'altro thread sul modo di calcolare velocemente una cifra mancante dal periodo di un primo (se questo ha lunghezza pari).