Radice di interi

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Enialis
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Radice di interi

Messaggio da Enialis » 09 mar 2008, 09:26

Ragazzi io non so nulla di teoria dei numeri. Una mia amica (anche lei ignorante a riguardo) mi ha proposto questo problema: dati due interi a,b coprimi dimostrare che se la loro radice quadrata è un numero intero
$ \sqrt{ab}=k\mbox{ con } a,b,k\in\mathbb{N} $
allora essi sono quadrati perfetti. La dimostrazione dovrebbe essere facile ma quella che le ho proposto non la convince. Vi propongo quindi di trovare la più breve e intuitiva che si possa fare senza lasciare nulla per scontato. Grazie!
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Jack mani di fata
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Messaggio da Jack mani di fata » 09 mar 2008, 10:38

premettendo la mia totale ignoranza in questo campo...
tenterò comunque di affrontare il problema...

se a e b sono coprimi vuol dire che il loro MCD è 1
non hanno perciò,se fattorizzati,fattori in comune

analizziamo ora come si può formare un quadrato perfetto come prodotto di due numeri:
-prodotto di due quadrati perfetti
-prodotto di due numeri i quali,fattorizzandoli,presentano i loro fattori comuni con esponenti o entrambi pari o entrambi dispari e i fattori non comuni con esponenti pari
(dovrebbero essere gli unici due casi...spero)

escludendo il secondo caso nel quale è evidente chi a e b non sarebbero coprimi,non ci rimane che concludere che a e b sono entrambi quadrati perfetti

non so quanto ciò che ho detto sia valido...si accettano critiche e correzioni(non mi convinco neanche da solo...)
la parola impossibile è presente solo nel vocabolario degli stolti

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salva90
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Messaggio da salva90 » 09 mar 2008, 11:25

Molto prosaicamente...
sia p un primo che divide a. Ovviamente p non divide b. Se p comparisse in a con esponente dispari, ab non sarebbe quadrato perfetto. Quindi ogni primo che divide a compare con esponente pari: a è un quadrato perfetto. Quindi lo è anche b.


La tecnica di p-izzazione è molto utile, per esempio serviva alle provinciali per il terzo dimostrativo: segnatela nel bagaglio delle tecniche :wink:
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Jack mani di fata
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Messaggio da Jack mani di fata » 09 mar 2008, 11:29

salva90 ha scritto:La tecnica di p-izzazione è molto utile, per esempio serviva alle provinciali per il terzo dimostrativo: segnatela nel bagaglio delle tecniche :wink:
grazie del consiglio
ho ancora molto da imparare :oops:
(guarda caso al terzo dimostrativo provinciale ho fatto 0 :? )
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