OliForum Matematico

posto questo problema solo perchè penso che chi ha trovato questi 2 numeri è un genio

"qual è la 2500 cifra (partendo da destra) di 10000! ?"

oops ha ragione dark...

e la 2501-esima cifra?

Sicuro?

Mi risultava ne avesse 2499, di zeri... comunque la cifra non-zero dovrebbe essere 8... ma posso sbagliarmi su entrambe le cose

Si gli zeri sono 2499 (2000+400+80+16+3)... per l'ultima cifra non dico nulla perchè non so quale sia (le uniche cose [a me] note sono che è pari e diversa da 0 XD

Sono d'accordo con Dark...
Se vogliamo sapere la cifra finale di quel numero assurdo basta elencare e moltiplicare tra loro le cifre finali dei numeri da 1 a 10000 dividendo per $ 10^{2499}=5^{2499}\cdot 2^{2499} $.
ora queste cifre iniziali sono 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 (da dividere per $ 2^{2499} $) ripetute mille volte, più le iniziali dei multipli di 5, di cui ci occupiamo in un secondo momento.
Visto che $ 8=2^3 $ se togliamo tutti gli 8 abbiamo diviso per $ 2^{3000} $, ovvero ci resta da moltiplicare tutto per $ 2^{501} $. La cifra finale di $ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 $ è 2 e quindi bisogna ricavare la cifra finale di $ 2^{1501} $ che è 2 (la cifra finale di $ 2^5 $ è 2).
Le cifre finali dei multipli di 5 sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ripetute 200 volte più le cifre finali dei multipli di 25. Ma $ \prod_{i=1}^{9} i $ ha come cifra finale 6 e quindi, in pratica, è come se non avessi moltiplicato nulla. Ripetiamo il ragionamento con i multipli di 25 (che sono 40) e i multipli di 125 (che sono 16), ottenendo infine che la cifra finale del nostro numerone vale $ 2 \cdot 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 1\cdot 2\cdot 3 $ e quindi proprio 8.