voi come lo risolvereste? (congruenze)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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angus89
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voi come lo risolvereste? (congruenze)

Messaggio da angus89 » 17 feb 2008, 16:05

$ \dispaystyle {(102^{73} + 55)}^{87} \equiv x (mod 111) $
qual'è il valore di x?
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 17 feb 2008, 17:09

e qst e il tuo massaggio numero 111 :D :lol:
( cmq io applicherei il teorema cinese )
Ultima modifica di Jacobi il 17 feb 2008, 17:23, modificato 2 volte in totale.
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angus89
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Messaggio da angus89 » 17 feb 2008, 17:21

Jacobi ha scritto:e qst e il tuo massaggio numero 111 :D :lol:
( cmq io applicherei il teorema cinese...)
caspita è vero (era vero visto che ora sono a 112 con questo messaggio)...

Bè diciamo che l'idea del teorema cinese l'ho avuta anche io, ma poi per svilupparla...
insomma...
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Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 17 feb 2008, 17:23

svolgendo rapidamente i calcoli ( puo darsi che abbia sbagliato ) viene:
$ x \equiv 1 ( mod 3) \\ x \equiv -1 ( mod 37 ) $

Quindi $ x \equiv 73 (mod 111 ) $
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angus89
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Messaggio da angus89 » 17 feb 2008, 17:30

Jacobi ha scritto:svolgendo rapidamente i calcoli ( puo darsi che abbia sbagliato ) viene:
$ x \equiv 1 ( mod 3) $
e ci siamo
Jacobi ha scritto:$ x \equiv -1 ( mod 37 ) $
e qui come ci arrivi?come arrivi a risolvere la congruenza in mod 37
Jacobi ha scritto: Quindi $ x= 73 $
No dovrebbe esser 46 e comunque come li combini i risultati?
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Shade
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Messaggio da Shade » 17 feb 2008, 18:08

Scusate...Io ci provo, anche se nn ne sono completamente sicuro...{scusate la scrittua ma nn ho ancora imparato il LaTeX}

allora x congruo a 1 (mod3) e su questo non ci piove

poi credo che sia x congruo a 18 - 9^73 ovvero 9+9-9^73

quindi 9+3^2 - 3^146 da cui 9+ (3+3^73)(3-3^73)

ora mi diventa 9+ 3(3+3^73)(1-3^72)

che sviluppando 9+3(3+3^73)(1+3^36)(1-3^36)...(1+3^9)(1-3^9)

si vede che 1+3^9 congruo a 0 (mod 37) da cui deriva x congruo a 9 (mod 37)

ora abbiamo

x congruo a 1 (mod 3)
x congruo a 9 (mod 37)

da cui x=46

Is That Right???I Hope So...

Shade... :)
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angus89
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Messaggio da angus89 » 17 feb 2008, 18:14

Shade ha scritto: poi credo che sia x congruo a 18 - 9^73 ovvero 9+9-9^73
In base a cosa?

Allora mettiamoci daccordo...
parti dal fatto che vuoi risolvere questo?E poi?
$ \displaystyle (102^{73}+55))^{87} \equiv x (mod 37) $
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julio14
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Messaggio da julio14 » 17 feb 2008, 18:56

Beh 37 è primo e coprimo con 102, lo stesso vale per 37 e 18... e poi ci sono un po' di conticini, ma neanche troppi

alexba91
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Messaggio da alexba91 » 17 feb 2008, 18:56

Shade ha scritto: x congruo a 1 (mod 3)
x congruo a 9 (mod 37)

da cui x=46

Is That Right???I Hope So...

Shade... :D
non riesco a capire questo passaggio, come colleghi le 2 cose?
e poi perche come ha gia detto angus hai iniziato ponendo x= a quel valore?

Jacobi
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Messaggio da Jacobi » 17 feb 2008, 19:08

alexba91 ha scritto:
Shade ha scritto: x congruo a 1 (mod 3)
x congruo a 9 (mod 37)

da cui x=46

Is That Right???I Hope So...

Shade... :D
non riesco a capire questo passaggio, come colleghi le 2 cose?
teorema cinese del resto... ( credo shade intendesse dire $ x\equiv 46 ( mod 111 ) $ )
angus89 ha scritto:e comunque come li combini i risultati?
l'arte di lavorare con le congruenze... :D
( cmq rifacendo i calcoli mi viene $ x \equiv 9 ( mod 37 ) $ come a Shade, da cui si arriva a $ x \equiv 46 ( mod 111 ) $ )
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angus89
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Messaggio da angus89 » 17 feb 2008, 19:35

Jacobi ha scritto: l'arte di lavorare con le congruenze... :D
( cmq rifacendo i calcoli mi viene $ x \equiv 9 ( mod 37 ) $ come a Shade, da cui si arriva a $ x \equiv 46 ( mod 111 ) $ )
Bè si è quello che mi manca...l'arte nell'usare le congruenze...ma qualche suggerimento o qualche consiglio lo potete dare no?

Tipo io per risolvere
$ \dispaystyle (102^{73}+55)^{87} \equiv x (mod 3) $
Applico il piccolo teorema di fermat e poi un pò di calcoli fino a stabilire che
$ \dispaystile x \equiv 1 (mod 3) $

Per quanto riguarda
$ \dispaystyle (102^{73}+55)^{87} \equiv x (mod 37) $
Cosa posso fare?
Tipo applicando Fermat posso scrivere
$ \dispaystyle (102^{73}+55)^{15} \equiv x (mod 37) $
E poi?
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Messaggio da EUCLA » 17 feb 2008, 19:57

Cominci dal calcolarti $ 102^{73} \pmod {37} $.
Ad esempio:

$ 102\equiv 28 \pmod{37} $
Ti calcoli poi l'ordine di 28 modulo 27, e vale che:
$ 102^{73}\equiv 102^{73-kord} \pmod {37} $ che dovrebbe essere più facile da calcolare.
Quanto hai ricavato la base fai la stessa cosa con l'esponente 87, o anche come dici te col teorema di fermat. :wink:

darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 17 feb 2008, 19:57

Premetto che non ho letto tutta la discussione, però vi consiglierei di rifare un po' di conti... sia a me (il che conta poco) sia a Mathematica (il che conta già di più) viene $ x \equiv 10 \pmod {111} $

Ciao!
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Messaggio da julio14 » 17 feb 2008, 20:23

Tutto mod 37 dentro la parentesi si può fare $ 102^{36}\cdot 102^{36}\cdot 102+55 $ quindi con fermat $ 28+18=9 $ sempre con fermat semplifico l'87 a 15=5x3 e poi ancora qualche calcolino... ed ha ragione darkcrystal :D

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angus89
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Messaggio da angus89 » 17 feb 2008, 20:33

confermo x=46
E' la soluzione che riporta il testo...a meno che non sia sbagliata... :?

Comunque con calma ora mi rifaccio i calcoli
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