FLT sfasato di $1$ è molto falso

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Lasker
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FLT sfasato di $1$ è molto falso

Messaggio da Lasker » 15 apr 2018, 19:49

Dimostrare che per ogni $n\geq 3$ intero entrambe le equazioni
$$(a)\ \ x^n+y^n=z^{n-1}$$
$$(b)\ \ x^{n-1}+y^{n-1}=z^n$$
Hanno infinite soluzioni negli interi positivi.
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

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.Ruben.
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Re: FLT sfasato di $1$ è molto falso

Messaggio da .Ruben. » oggi, 18:28

Nel primo caso pongo $ x=y=2^a, z = 2^b $, con a e b naturali. L'equazione diventa $ 2 \cdot 2^{an} = 2^{b(n-1)} $; passando agli esponenti ottengo: $ (n-1)b - na = 1 $.
Quest'ultima é un equazione diofantea lineare che ha infinite soluzioni della forma:
$ a = n-2 + k(n-1) $;
$ b=n-1 + k n $, dove k é un parametro naturale.

Nel secondo caso facendo allo stesso modo si ottiene:
$ x=y= 2^{n+1+ jn}, z=2^{n+j(n-1)} $, con j parametro naturale.

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Lasker
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Re: FLT sfasato di $1$ è molto falso

Messaggio da Lasker » 37 minuti fa

Buona! Ti va di generalizzare un po'? Alla fine non è troppo importante che gli esponenti siano proprio $n$ e $n-1$ ad esempio
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