$x^{-1/2}+y^{-1/2}=20^{-1/2}$

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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jordan
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$x^{-1/2}+y^{-1/2}=20^{-1/2}$

Messaggio da jordan » 17 feb 2018, 16:50

Trovare tutte le soluzioni negli interi positivi di
$$
\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{20}}.
$$
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GiOvy_27_13
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Re: $x^{-1/2}+y^{-1/2}=20^{-1/2}$

Messaggio da GiOvy_27_13 » 18 feb 2018, 17:36

Testo nascosto:
Dal testo si ottiene [math]

Ponendo [math] , si trova la soluzione [math] . Ora supponiamo, senza perdita di generalità (poiché se [math] è soluzione, allora lo è anche [math]), [math].

Supponiamo per assurdo che la somma di due radici irrazionali di numeri razionali possa dare 1.

[math]
[math]

Al primo membro abbiamo un numero razionale, al secondo uno irrazionale e quindi l'aver supposto le radici irrazionali è assurdo.

Osserviamo che sono necessarie le condizioni [math] e [math] per ottenere radici razionali, quindi possiamo scrivere [math], [math] e il testo diventa [math].

Essendo [math] , si ha [math] e inoltre [math], [math], questo perché il valore del primo addendo dev'essere compreso tra [math] e 1 e quello del secondo tra [math] e [math].
Ma [math] dev'essere un quadrato, e quindi l'unico valore che può assumere è 9, che porta alle soluzioni [math] e [math].

Le tre soluzioni sono quindi [math], [math] e [math].

"Al mondo tutti hanno un nome, tranne ."

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jordan
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Re: $x^{-1/2}+y^{-1/2}=20^{-1/2}$

Messaggio da jordan » 19 feb 2018, 18:38

Molto bene!
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