Ana ha trovato un intero $k \ge 2$!* Decide quindi di sfidare l'amico (amica?) Banana al gioco dei numeri: all'inizio scrivono sulla lavagna un intero $n \ge k$; poi, iniziando da Ana, muovono a turno. Una mossa consiste nel cancellare il numero $m$ scritto sulla lavagna e scrivere al suo posto un intero $m'$ tale che:
(i) $k \le m' < m$
(ii) $(m, \: m') = 1$.
Perde chi non può più muovere.
Diciamo che un intero $n \ge k$ è anico se Ana ha una strategia vincente quando il numero iniziale è $n$, bananico altrimenti.
Si considerino due interi $n_1, \: n_2 \ge k$ con la proprietà che ogni primo $p \le k$ divide $n_1$ se e solo se divide $n_2$. Si mostri che $n_1$ e $n_2$ sono o entrambi anici o entrambi bananici.
* Interpretate il punto esclamativo a piacere.
I nomi degli italiani sono belli
Re: I nomi degli italiani sono belli
Secondo me è troppo semplice per essere vera e soprattutto manca un pezzo:
Testo nascosto:
Io ho dato per scontato che con "altrimenti" intendessi "se Banana ha una strategia vincente".cip999 ha scritto:bananico altrimenti
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$
- Gerald Lambeau
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Re: I nomi degli italiani sono belli
Mi sa che questa frase non è vera: supponiamo di iniziare con $a$, numero anico, e $b$ e $c$ sono due numeri a caso minori di e coprimi con $a$ e maggiori di o uguali a $k$; supponiamo anche che, secondo la strategia di Ana, bisogna scegliere proprio $b$ per essere certi di vincere: quindi se si iniziava con $b$ avremmo perso, quindi $b$ è bananico. Ma come fai a dire lo stesso di $c$? Magari la strategia di Ana le dice di non sceglierlo proprio perché è anico e quindi porterebbe alla vittoria chi se lo trova davanti!Sirio ha scritto:Se un numero è anico allora tutti i numeri minori di quel numero e coprimi con esso sono bananici e viceversa.
"If only I could be so grossly incandescent!"
Re: I nomi degli italiani sono belli
Hai ragione, vedrò di risolvere .Gerald Lambeau ha scritto:Mi sa che questa frase non è vera: supponiamo di iniziare con $a$, numero anico, e $b$ e $c$ sono due numeri a caso minori di e coprimi con $a$ e maggiori di o uguali a $k$; supponiamo anche che, secondo la strategia di Ana, bisogna scegliere proprio $b$ per essere certi di vincere: quindi se si iniziava con $b$ avremmo perso, quindi $b$ è bananico. Ma come fai a dire lo stesso di $c$? Magari la strategia di Ana le dice di non sceglierlo proprio perché è anico e quindi porterebbe alla vittoria chi se lo trova davanti!Sirio ha scritto:Se un numero è anico allora tutti i numeri minori di quel numero e coprimi con esso sono bananici e viceversa.
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$
Re: I nomi degli italiani sono belli
Come ha detto Gerald, la tua dimostrazione falla in partenza... A parte questo, il fatto che un numero sia sempre o anico o bananico è vero, ma è anche ovvio. Non è invece vero che "Tutti i numeri minori di $n_1$ e coprimi con esso sono anche minori di $n_2$ e coprimi con esso" (es: $k = 2$, $n_1 = 4$, $n_2 = 6$).
Re: I nomi degli italiani sono belli
Wow che bel problema! Me è piaciuto!
Re: I nomi degli italiani sono belli
Il titolo di questo topic mi ha ricordato "I vitelli dei romani sono belli"
Ma boh, deformazione da classicista probabilmente
Ma boh, deformazione da classicista probabilmente
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
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