Interi particolari.

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Giovanni_98
Messaggi: 69
Iscritto il: 10 apr 2015, 18:19

Interi particolari.

Messaggio da Giovanni_98 » 11 set 2017, 12:12

Sia $n$ un intero positivo. Supponiamo che i suoi divisori possano essere divisi in gruppi da due (ogni divisore fa parte di un gruppo) tali che la somma dei divisori costituenti ogni coppia sia uguale ad un numero primo. Dimostrare che i primi così ottenuti sono tutti distinti e che nessuno di loro divide $n$.

Roob
Messaggi: 4
Iscritto il: 08 giu 2017, 20:05

Re: Interi particolari.

Messaggio da Roob » 12 ott 2017, 18:07

Dimostriamo innanzitutto che $v_p(n)\leq 1\ \forall p$, e in particolare $v_2(n)=1$
Ciò è vero perchè se per qualche primo $p$ avessimo che $a=v_p(n)\geq 2$, detto $m$ il numero di divisori di $n$ non divisibili per $p$, avremmo $am\geq 2m$ divisori di $n$ divisibili per $p$. Ma allora almeno una delle coppie sarebbe composta da due multipli diversi di $p$, e la loro somma sarebbe multipla di $p$ e maggiore di $p$ stesso, quindi composta. Invece è necessario che $n$ sia pari perché altrimenti tutti i suoi divisori sarebbero dispari, e di conseguenza qualsiasi somma pari, assurdo.
Dunque $n=2p_1p_2\cdots p_k$ per qualche $k$ naturale e $p_i$ primi, e quindi tutti i suoi divisori sono della forma $\displaystyle\prod_{i\in I}p_i$ o $2\displaystyle\prod_{i\in I}p_i$ per qualche $I\subseteq \{1,2,\ldots ,k\}$

Notiamo che, se $|I|=c$, $\displaystyle\prod_{i\in I}p_i$ può stare in coppia solo con $\displaystyle2\prod_{i\in J}p_i$, dove $J\subseteq \{1,2,\ldots ,k\}$ tale che $|J|\leq k-c$ e che $I\cap J=\emptyset$, altrimenti avremmo almeno uno dei $p_i$, che compare in entrambi i prodotti, quindi la loro somma sarebbe multipla di tale primo.

Dimostriamo per induzione estesa su $a$ che $\displaystyle\prod_{i\in I}p_i$ è in coppia con $\displaystyle2\prod_{i\not\in I}p_i$, dove $|I|=n-a$
Passo base: $a=0$
$\displaystyle\prod_{i=1}^kp_i$ è dispari e multiplo di tutti i $p_i$, quindi va necessariamente accoppiato con $2$.
Passo induttivo: $|I|=k-(a+1)$
Per le osservazioni di prima, è necessario che il divisore che prendiamo sia pari, l'insieme di indici dei primi abbia cardinalità minore o uguale a $k-(k-(a+1))=a+1$ , e abbia intersezione vuota con $I$. Ma per ipotesi induttiva tutti gli insiemi di cardinalità minore di $a+1$ sono già stati usati per tutti gli insiemi di cardinalità maggiore di $k-(a+1)$, per cui serve che la cardinalità sia proprio uguale ad $a+1$. L'unico di questi insiemi che ha intersezione vuota con $I$ è proprio $\{1,2,\ldots ,k\}\backslash I$.

Dimostriamo adesso che tutte le somme sono distinte.
In ognuna di esse, abbiamo che il prodotto dei due addendi è costante (in particolare uguale ad $n$). Ma somma e prodotto definiscono univocamente due numeri (a meno di loro permutazioni), per cui se avessimo due somme uguali, anche gli addendi dovrebbero essere a due a due uguali, assurdo perchè stiamo prendendo ogni divisore una sola volta.
Per dimostrare che nessuna di esse divide $n$, sapendo che sono tutte dispari, basta dimostrare che sono coprime con ogni $p_i$. Adesso, se $i\in I$ la somma è coprima con $p_i$ perchè il primo addendo è un suo multiplo mentre il secondo no, se invece $i\not\in I$, il secondo addendo è multiplo di $p_i$, mentre il primo no, quindi la somma è coprima con $p_i$ anche in questo caso.


Mi dispiace se non è chiarissima :( Spero che almeno sia giusta.

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Matimil8 e 5 ospiti