Problemi di rappresentazione

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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Vinci
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Problemi di rappresentazione

Messaggio da Vinci » 15 lug 2017, 10:41

Dimostrare che se $m/n$ è un numero razionale ridotto ai minimi termini allora esso ammette una rappresentazione finita in base $b$ se e solo se tutti i fattori primi del denominatore $n$ sono divisori di $b$.

Vinci
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Re: Problemi di rappresentazione

Messaggio da Vinci » 15 lug 2017, 17:48

Sono riuscito a fare il primo verso, ovvero se ammette una rappresentazione finita allora tutti i fattori primi sono divisori di $b$:
Testo nascosto:
Abbiamo che: $$\frac{m}{n}=a_kb^k+a_{k-1}b^{k-1}+\dots +a_1b+a_0+\frac{a_{-1}}{b}+\dots +\frac{a_{-h+1}}{b^{h-1}}+\frac{a_{-h}}{b^{h}}$$ dove $h$, $k$ e gli $a_i$ sono interi positivi e $\forall i , 0\le a_i <b$. Avremo che $n$ ha una fattorizzazione unica in primi $n=\prod {p_i}^{\alpha_i}$ e facendo il minimo comune multiplo otterremo $$mb^h=(a_kb^{k+h}+\dots +a_{-h})\prod {p_i}^{\alpha_i}$$ Dato che nessuno dei $p_i$ divide $m$ in quanto $m$ ed $n$ sono coprimi abbiamo che per ogni $i$ $p_i\mid b^h\Rightarrow p_i\mid b$
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Vinci
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Re: Problemi di rappresentazione

Messaggio da Vinci » 15 lug 2017, 17:48

Non sono riuscito a fare il secondo verso, qualche suggerimento?

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Sirio
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Re: Problemi di rappresentazione

Messaggio da Sirio » 16 lug 2017, 16:09

Hint per Vinci
Testo nascosto:
Chiamiamo $h$ il più piccolo intero tale che $n|b^h$. Cosa si può dire di $\dfrac m n b^h$?
シリオ
$T=\sqrt{\dfrac l g 12\pi}$

Vinci
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Re: Problemi di rappresentazione

Messaggio da Vinci » 16 lug 2017, 18:38

Testo nascosto:
E' intero e quindi ha una rappresentazione decimale finita e quindi dividendo tutto per $b^h$ si ottiene che anche $m/n$ ha una rappresentazione finale finita. Grazie mille, era più facile di quanto pensassi :mrgreen:

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