OliForum Matematico

Sono dati $ x,y,z \in R^+ $ tali che soddisfano le equazioni:

I) $ x^2 + xy + \frac{y^2}{3}=25 $ II)$ \frac{y^2}{3}+z^2=9 $ III)$ z^2+zx+x^2=16 $

trovare $ xy+2yz+3zx $

hint: perchè sta in geometria?

Perche' stia in geometria non ne ho idea... comunque, tecniche sempre meno olimpiche mi dicono che la soluzione sia $ 24\sqrt{3} $

Perché sta in geometria?
Forse perché le equazioni comunque, rappresentano luoghi geometrici nello spazio?

hintino: a me sembrano tre teoremi di carnot... non è che si riesce a prendere un triangolo e tramite un punto al suo interno dividerlo in triangolini che soddisfano quelle robe?

Hint:

problem solving strategies di Arthur Engel! ( e visto che io lo ho nn dico niente sul problema!)

il 90% di quelli del forum ce lhanno l'engel

comunque wolwerine potresti postare la tua soluzione?

Giusto perche' me lo chiede jordan:

Si pone $ xy+2yz+3zx=k $, si applica l'algoritmo di Buchberger all'ideale $ I $ generato da $ x^2+xy+y^2/3-25 $ , $ y^2/3+z^2-9 $ , $ z^2+zx+x^2-16 $ , $ xy+2yz+3zx-k $ e si scopre che

$ k^2-1728\in I $

Dunque $ k=\pm24\sqrt{3} $ e, per l'ipotesi di positivita', $ k=24\sqrt{3} $

(l'avevo detto che non era olimpica...)

Interessante... Ma Buchberger lo fai a mano? Con quale term ordering?

A mano, assistito da Maple per moltiplicare i polinomi. In realta' Maple ha un pacchetto "grobner" che farebbe automaticamente tutti i conti, ma in questo caso li ho fatti a mano nella speranza che venisse qualcosa di particolarmente breve e quindi postabile. Purtroppo non e' stato cosi', i conti si incasinano un bel po' prima di semplificarsi

Ho usato l'ordinamento lessicografico sui monomi, con $ k>z>y>x $. Prima di lanciare l'algoritmo conviene fare la differenza $ (z^2+zx+x^2-16)-(y^2/3+z^2-9)=zx-y^2/3+x^2-7 $ per "liberare" anche il monomio $ zx $. Cosi' i monomi "liberi" in partenza sono $ y^2,zx,z^2,k $. Facendo un po' di conti "alla Buchberger" (non e' necessario applicare l'algoritmo completamente e fino in fondo), si trova dapprima il polinomio $ -15x^2+32yz-69xy+672 $, che libera $ zy $ e poi $ -37x^2-64xy+1024 $, che libera $ xy $. A questo punto e' abbastanza facile (sempre smanazzando alla Buchberger, ovvero facendo un po' di divisioni successive secondo l'ordine monomiale che abbiamo scelto) ottenere le due equazioni

$ 19659x^4-559104x^2+3145728=0 $

e

$ 6553x^2+1024k-93184=0 $

dalla seconda si ricava

$ \displaystyle{x^2=-\frac{1024}{6553}k+\frac{93184}{6553}} $

e sostituendo nella prima, otteniamo finalmente l'equazione

$ \displaystyle{\frac{3145728}{6553}k^2-\frac{5435817984}{6553}=0}, $

ovvero, semplicemente,

$ k^2-1728=0 $

Laboriosetto, ma efficace... (almeno con un computer sulla scrivania...)

Se la soluzione di Wolverine fosse l’unica possibile, il quesito non sarebbe in geometria ma in matematica non elementare. Salva90, ho provato a sviluppare la tua idea: funziona! Poiché però è tua, ti lascio l’onore della risposta e manderò la mia solo se tu me ne inviti.