excerchi, concorrenza, ortocentro e Nagel

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

nel triangolo ABC l'ex-cercchio opposto a A tange AB, AC in $ A_{1} $, $ A_{2} $ rispettivamente, l'ex-cercchio opposto a B tange BC, BA in $ B_{1} $, $ B_{2} $ rispettivamente e l'ex-cerchio opposto a C tange CA, CB in $ C_{1} $, $ C_{2} $ rispettivamente.

$ 1\blacktriangleright $$ P:A_1C \cap A_2B $, $ Q: B_1A \cap B_2C $ e $ R:C_1A \cap C_2B $; dimostrare che AP, BQ e CR concorrono nel punto di Nagel

$ 2\blacktriangleright $$ D: A_1C_2 \cap A_2B_1 $, $ D' : B_1B_2 \cap C_1C_2 $ e cicliche; dimostrare che D e D' stanno sull'altezza retativa ad A e cicliche

[Ponnamperuma]

A beneficio di chi, come me, sarebbe tendenzialmente pigro, aggiungo la definizione di punto di Nagel...

Il punto di Nagel di un triangolo è l'intersezione dei tre segmenti, ciascuno dei quali unisce un vertice del triangolo con il punto nel quale il suo lato opposto è tangente al corrispondente excerchio. [un disegno rende tutto più comprensibile! ]

[enomis_costa88]

Visto che Salva dice che si fa con le trilineari (e ora ti posti tutti i contazzi ) ..troviamo una soluzione più simpatica del punto a (il secondo è troppo lungo da leggere).

Sia A_3 il punto di tangenza della ex inscritta con a.
Sia a= x+y
b=x+z
c=y+z
e' noto che:

$ r_a=p\tan{\frac{\alpha}{2}} $

Con un po' di angoli + definizione di tangente:

$ A_1B=r_a\tan{\frac{\beta}{2}}= p\tan{\frac{\alpha}{2}}\tan{\frac{\beta}{2}} $
e analogamente
$ A_2C=p\tan{\frac{\alpha}{2}}\tan{\frac{\gamma}{2}} $

Inoltre ricordando che Nagel è l'isotomico di Gergonne e con un pizzico di trigonometria.
$ x=BA_3=\frac{r}{\tan{\frac{\gamma}{2}}} $
$ y=CA_3=\frac{r}{\tan{\frac{\beta}{2}}} $

Inoltre$ A_1A=A_2A $ per simmetria da cui:

$ A_1A*BA_3*A_2C $ =$ A_1A*\frac{r}{\tan{\frac{\gamma}{2}}} $$ *p\tan{\frac{\alpha}{2}}\tan{\frac{\gamma}{2}} $
=$ A_2A*A_3C*BA_1 $ $ = A_2A*\frac{r}{\tan{\frac{\beta}{2}}} $$ *p\tan{\frac{\alpha}{2}}\tan{\frac{\beta}{2}} $

da cui per Ceva $ AA_3 $ concorre in P con $ A_1C $ e $ BA_2 $ e quindi $ PA_3 $ e A sono allineati da cui segue che i tre segmenti dati concorrono in Nagel.

[EvaristeG]

Per far lo sborone:
Consideriamo l'excerchio $ \Gamma_A $ opposto al vertice A. E sia $ A_3 $ il punto in cui questo tange BC.
Allora $ A_1C, A_2B, A_3A $ sono simmediane (simmetriche delle mediane rispetto alle bisettrici) di $ A_1A_2A_3 $ (fatto noto: la simmediana va da un vertice all'intersezione delle tangenti alla circonferenza circoscritta negli altri due vertici) che infatti ha $ \Gamma_A $ come cfr circoscritta. E dunque concorrono. Ma allora AP passa per $ A_3 $ e dunque per il punto di Nagel.