Pagina 1 di 1

Ammissione Normale 2007. Quesito Fresco Fresco

Inviato: 01 set 2007, 15:13
da supergrane
Ammissione Normale 2007. Quesito 2/5

Nella pianura di Giza ci sono 2 piramidi, una più alta dell'altra. Entrambe le piramidi
sono regolari, di base quadrata.
Le 2 piramidi condividono solamente uno dei 4 vertici dei due quadrati di base, in modo che le diagonali dei quadrati che partono da tale vertice giacciano sulla stessa retta.
Un tale si trova sul vertice V della piramide più alta e vuole arrivare sul vertice dell'altra.
Si domanda qual è il percorso più breve.
(Il tale non necessariamente deve passare per il vertice in comune delle piramidi:cioè, può camminare anche lungo la pianura)

Inviato: 04 set 2007, 10:30
da edgar89
allora... non sapendo scrivere in latex evito tutti i vari passaggi e vi descriverò cosa ho cavcato da questo problema.
innanzitutto notiamo che ci sono due gradi di libertà ossia, scelto l'angolo con il quale scendere sulla faccia della prima piramide (1° grado) posso poi scegliere il secondo angolo con altrettante libertà (praticamente è l'angolo che mi dice in che direzione attraverso la pianura)
questo angolo poi mi identifica univocamente la rotta spigolo-vertice sulla terza piramide essendo il percorso più breve a questo punto un segmento.
per cui, dopo mooolti passaggi, detti a e A le apoteme, l e L i lati di base e h e H le altezza delle due piramidi, il percorso di minima distanza è dato dall'equazione:

A(1+t^2)^1/2+a(1+t^2)^1/2+[(a^2+A^2)t^2-(al+AL)t+0.25(l^2+L^2)]^1/2

dove t è la tangente dell'angolo di partenza.
Inoltre aggiungo che ho considerato l'angolo di partenza uguale a quello di arrivo.

insomma, studiando la derivata di questa strana cosa ottengo il minimo: t=0.288
da cui x=16° (per valori scelti di H,h,L,l)

l'unico problema riguarda il fatto che se calcolo d0 con quei numeri (d0 è il percorso per il vertice in comune) questi è minore dell'altro percorso.

da ciò deduco che:

a)ho sbagliato alcuni passaggi
b)non dovevo considerare gli angoli di arrivo e partenza uguali
c)il percorso minimo è proprio quello

Inviato: 04 set 2007, 12:46
da supergrane
La mattina dell'esame nn ho avuto tempo per pensare a questo problema,perché mi era sembrato il più difficile..così ho scritto che il percorso più breve era quello passante x il vertice comune, a causa delle disuguaglianze triangolari.
Sta' a vedere che ci ho preso!! :D :D :D

Inviato: 04 set 2007, 17:18
da edgar89
supergrane ha scritto:La mattina dell'esame nn ho avuto tempo per pensare a questo problema,perché mi era sembrato il più difficile..così ho scritto che il percorso più breve era quello passante x il vertice comune, a causa delle disuguaglianze triangolari.
Sta' a vedere che ci ho preso!! :D :D :D
anche io avevo iniziato a farlo così ma quali triangoli consideri?

Inviato: 04 set 2007, 19:58
da !!Alberto!!
costruiamo lo sviluppo piano delle 2 facce col vertice in comune.
Chiamiamo C tale vertice, V il punto di partenza e W il punto di arrivo:
Inoltre chiamiamo P un generico punto del piano non appartenente alla spezzata VCW.
A questo punto prolunghiamo la retta WC fino ad intersecarla con il segmento VP e chiamiamo J il punto di incontro: per la disuguaglianza triangolare WC<WP+PJ
e CV<CJ+VJ.
Quindi il percorso più breve è quello lungo la spezzata VCW.

Inviato: 04 set 2007, 20:39
da pic88
!!Alberto!! ha scritto: A questo punto prolunghiamo la retta WC fino ad intersecarla con la retta WP e chiamiamo J il punto di incontro

Inviato: 04 set 2007, 20:50
da !!Alberto!!
Corretto :)

Inviato: 06 set 2007, 20:03
da The Raven
Un _generico_ punto del piano!?
Mi sfugge qualcosa.

Inviato: 20 ott 2007, 16:23
da rhegion
Chiamiamo V e W i vertici delle piramidi 1 e 2, C il punto in comune delle basi;
A1 ed A2 siano gli angoli al lato di base delle facce della piramidi 1 e 2.
Consideriamo due facce delle due piramidi che
abbiano C per vertice di base e si trovino nello stesso
semispazio per il piano passante per V,C,W.
Rappresentandole su un piano, con
loro lati di base basi a 90° l'un dall'altro, e le altezze non questo angolo
retto con vertice in C, poichè
in una piramide regolare a base quadrata 45°<A1(A2)<90°, vediamo che:
per qualunque percorso rettilineo da V alla pianura, non fino a C, giunti là
il percorso più breve per W è ancora rettilineo. La somma dei due sarà
sempre maggiore della spezzate VCW.

Inviato: 09 nov 2007, 02:25
da Jaquy
Perchè ti devi complicare la vita? La traccia dice piramidi REGOLARI di base QUADRATA, quindi A1 = A2 = 45° sempre.

Per la soluzione io ho ragionato anche con le diseguaglianze triangolari.
1. Percorso più breve = VW (in aria)
2 Percorso un pò meno breve: proiettare il segmento VW sulla superficie delle piramidi ottenendo VCW
3 Percorso un pò più lungo. Trovare un punto generico su una retta passante per C esterna alle basi delle piramidi e passante per il piano delle basi. VPW
4 Percorso lungo. Costruire altri due triangoli proiettando sul terreno e sui lati delle piramidi i segmenti VP e PW.
Ora abbiamo costruito dei triangoli. Ricordando che la somma di due lati (il percorso nuovo) è sempre maggiore della somma del terzo (percorso vecchio) si ha che 1<2<3<4, Il percorso 3 e 1 sono impercorribili per un'essere incapace di volare, e se si assume che non ci siano ponti o funi o simili da V a W e che il personaggio possa muoversi solo ancorato a una superficie, il percorso più breve è il 2 ossia VCW.

Inviato: 14 nov 2007, 17:58
da rhegion
Se si definisca "regolare" una piramide retta la cui base è un poligono regolare, una delle due sezioni di un ottaedro regolare secondo un piano per quattro suoi vertici è una piramide per la ammessa definizione "regolare", con facce che siano quattro triangoli equilateri di angoli uguali a $ {\frac{\pi}{3}} $.

-ho modifica to il ms.precedente ricordandomi che
uno dei due angoli 'di base' delle facce di una piramide
regolare a base quadrata è sempre maggiore di$ {\frac{\pi}{4}} $e minore
di$ {\frac{\pi}{2}} $. Per
cui la somma di questi in due piramidi è sempre maggiore di$ {\frac{\pi}{2}} $ e minore di$ {\pi} $.

(ho avuto una lezione circa me stesso)