Fuori dalla Scatola

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TADW_Elessar
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Fuori dalla Scatola

Messaggio da TADW_Elessar » 11 ago 2007, 11:03

Studiando vari aspetti delle disuguaglianze triangolari sono incappato in questo problema graziosissimo (anche se non difficile):

In $ ~\mathbb{R}^2 $, costruiamo una circonferenza di raggio unitario in ogni quadrante del quadrato $ ~[-2,2]^2 $.
Una circonferenza non secante di raggio massimo è quindi centrata sull'origine.
Vedi immagine:
Immagine

Questa disposizione di $ ~5 = 2^2 +1 $ circonferenze in $ ~[-2,2]^2 $ ha una naturale generalizzazione in una disposizione di $ ~2^d +1 $ sfere in $ ~[-2,2]^d $.

Ovvero, in ognuno dei $ ~2^d $ punti denotati da $ ~\vec{e}=(e_1,e_2,\ldots,e_d) $ con $ ~e_k = 1 $ o $ ~e_k = -1 $ per $ ~1 \leq k \leq d $ mettiamo una sfera $ ~S_e $ di raggio uno. Tutte queste sfere sono contenute nel "cubo" $ ~[-2,2]^d $. Per completare il quadro, mettiamo una sfera $ ~\mathcal{S}(d) $ nell'origine che abbia il raggio più grande possibile, soggetto alla restrizione che la sfera non intersechi l'interno di nessuna delle $ ~2^d $ sfere iniziali.

La sfera centrale $ ~\mathcal{S}(d) $ è contenuta nella scatola $ ~[-2,2]^d $ per ogni $ ~d \geq 2 $?

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