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Problema Carino SNS 1994.5

Inviato: 03 ago 2007, 11:00
da memedesimo
Ciao a tutti! Mi sento abbondantemente fuori luogo a postare in questa sezione! :D
Mente cercavo di imparare qualche rudimento di matematica mi sono imbattuto in questo esercizio molto carino, che ovviamente non sono riuscito a fare se non sbirciando (e non poco! :D ) la soluzione. Spero che non sia troppo noto tra voi menti geometriche!

Consideriamo un triangolo e dividiamo i suoi lati in n parti uguali mediante (n-1) punti su ciascun lato. Congiungiamo ogni vertice con i punti così ottenuti sul lato opposto. Si dimostri che se n è primo maggiore di 2 allora non esistono punti appartenenti simultaneamente a tre dei segmenti così costruiti.

Piccolo Hint: chi mi conosce come geometra, sa qual'è una possibile strada risolutiva!!

Inviato: 03 ago 2007, 11:51
da enomis_costa88
Ceva domina!

Se fosse possibili avrei per ceva che
abc=(n-a)(n-b)(n-c)=n^3-(a+b+c)n^2+(ab+bc+ca)n-abc
Ovvero modulo n:
2abc=0(n) con a,b,c<n che è assurdo per n primo maggiore di due.

Inviato: 03 ago 2007, 13:51
da memedesimo
Eh ma col teoremone non vale! :D
scherzo :wink:

Inviato: 03 ago 2007, 14:34
da enomis_costa88
Trallaltro mi accorgo ora di quanto sia scritta male :D
Ho saltato i primi passaggi..hem in effetti a meno di affinità si può mandare tutto in un equilatero di lato n e si arriva subito a ciò che ho scritto io :wink:

La soluzione senza Ceva esiste?

Inviato: 03 ago 2007, 21:40
da Zoidberg
Ci avevo provato anch'io senza successo...

Mi autopunirò scrivendo cento volte:

"Non puoi pensare di riuscire a risolvere tutti gli esercizi di geometria usando solo Pitagora!" :oops:

Inviato: 03 ago 2007, 23:30
da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
:shock: ho notato un fatto interesante che non ho voglia di verificare:

costruiamo le n+1 ceviane dei vertici A e B e chiamiamole ordinatamente $ a_0 a_1\ a_2\ a_3 \ ... \ a_{n-1} \ a_{n} $ e $ b_0 \ b_1\ b_2\ b_3 \ ... \ b_{n-1}\ b_n $ dove il pedice è 1 quando unisce il punto più vicino al lato c e n-1 quando unisce il più lontano mentre $ a_0 $ e $ b_0 $ sono il lato c e $ a_n $ il lato b e $ b_n $ il lato a.
Ora prendiamo due ceviane $ a_k $ e $ b_h $ che delimitano un punto e ugualmente le ceviane $ a_{k+1} $ e $ b_{h-1} $ che delimitano un'altro punto e così via fino a $ a_{n} $ e $ b_{h-(n-k)} $ che delimitano altri punti; lo stesso procedimento si può fare anche in verso opposto partendo dal punto delimitato da $ a_k $ e $ b_h $ trovare quelli delimitati da $ a_{k-1} $ e $ b_{h+1} $ e così via ottenendo altri punti.
Dimostrare che per qualsiasi h e k di partenza i punti ottenuti stanno su un'ellisse che passa per A e B e che tutti gli ellissi ottenuti passano per uno stesso punto (oltre ad A e B) che chiamiamo X.
Ripetendo ugualmente il procedimento con le ceviane uscenti da B e C e da C e A otteniamo rispettivamente degli ellissi che passano tutti per un punto Y e degli ellissi che passano tutti per un punto Z.
Dimostrare che $ \triangle XYZ $ è il triangolo antimediale di $ \triangle ABC $

Inviato: 04 ago 2007, 13:46
da Pigkappa
¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:fatto interesante
Dissento.

[Chiedo perdono, non ho potuto resistere]