Quanti quadrati di lato 2 servono, al minimo, per ricoprire un cerchio di raggio 5?
(Questo è un esercizio delle finali internazionali dei giochi Bocconi. La soluzione si può trovare senza problemi, ma la dimostrazione ancora non la so)
Quadrati sopra ad un cerchio
Credo che la soluzione sia 23, e si può provare a dimostrare così:ci troviamo sul piano cartesiano e il centro C della circonferenza ha coordinate (2,5; 2,5) .
siano r e s due diametri paralleli uno all'asse x l'altro all'asse y passanti per C;su r il minimo di quadratini da sistemare l'uno accanto all'altro per comprirlo interamente è 5 (10/2). poniamo quindi il caso di porre su r 5 quadratini che occuperanno la parte di cerchio che dista uno da r . passando alla corda parallela a r e distante 2 da esso, che, "coperta di quadratini" occuperà insieme a quello precedente lo spazio di cerchio che sul diametro s andrà da (k; 4 ) a (k;8 ) con $ 0<=k<=5 $. a questo punto bisogna vedere se la corda con coordinata y=8 è compresa tra 6 e 8, ovvero bastano 4 quadratini o se è maggiore di 8, ovvero servono nuovamente 5 quadratini, e il valore della corda si può calcolare abbastanza facilmente con la geometria analitica, facendo la distanza tra due punti e scrivendo la coordinata x (la y=6) in funzione dell'equazione della circonferenza; cosa che non farò. Viene che la corda è >8 quindi serviranno nuovamente 5 quadratini; per l'ultima corda, con coordinata y=9 , la ricopro anch'essa di una fascia di quadretti e faccio lo stesso lavoro per la corda y=8 e trovo che questa è minore uguale a 8 con lo stesso metodo precedente, e che quindi andranno bene 4 quandretti invece che 5, faccio la stessa cosa sulla parte inferiore del diametro r. Noto che faccio in tutto 5 righe di quadrettatura; 5*2 = 10 quindi anche in altezza andrà bene, sommo tutti i quadretti e ottengo 23.
siano r e s due diametri paralleli uno all'asse x l'altro all'asse y passanti per C;su r il minimo di quadratini da sistemare l'uno accanto all'altro per comprirlo interamente è 5 (10/2). poniamo quindi il caso di porre su r 5 quadratini che occuperanno la parte di cerchio che dista uno da r . passando alla corda parallela a r e distante 2 da esso, che, "coperta di quadratini" occuperà insieme a quello precedente lo spazio di cerchio che sul diametro s andrà da (k; 4 ) a (k;8 ) con $ 0<=k<=5 $. a questo punto bisogna vedere se la corda con coordinata y=8 è compresa tra 6 e 8, ovvero bastano 4 quadratini o se è maggiore di 8, ovvero servono nuovamente 5 quadratini, e il valore della corda si può calcolare abbastanza facilmente con la geometria analitica, facendo la distanza tra due punti e scrivendo la coordinata x (la y=6) in funzione dell'equazione della circonferenza; cosa che non farò. Viene che la corda è >8 quindi serviranno nuovamente 5 quadratini; per l'ultima corda, con coordinata y=9 , la ricopro anch'essa di una fascia di quadretti e faccio lo stesso lavoro per la corda y=8 e trovo che questa è minore uguale a 8 con lo stesso metodo precedente, e che quindi andranno bene 4 quandretti invece che 5, faccio la stessa cosa sulla parte inferiore del diametro r. Noto che faccio in tutto 5 righe di quadrettatura; 5*2 = 10 quindi anche in altezza andrà bene, sommo tutti i quadretti e ottengo 23.
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
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mathias.jag
- Messaggi: 11
- Iscritto il: 20 feb 2010, 13:26
alllora...
premetto che facendo il disegno mi è uscito anche a me 23 ma...
Ho provato poi a formalizzare il risultato e mi sono uscite strane cose.
Dalla figura ho dedotto che trovare il numero di quadratini cercato (k) corrispondeva a trovare quel numero che, moltiplicato per l'area cel quadratino(4) dava una approssimazione intera per ecceesso dell'area del cerchio in quastione ( che è circa 78,5)
quindimi son detto che $ k $ è uguale alla parte intera per eccesso di $ 78,5/4 $ che è circa venti....
in quale dell due è l'errore ? il risultto è ventitrè o venti ? è che mi sembra che siano troppo fuori dal cerchio nella figura i ventitrè....
premetto che facendo il disegno mi è uscito anche a me 23 ma...
Ho provato poi a formalizzare il risultato e mi sono uscite strane cose.
Dalla figura ho dedotto che trovare il numero di quadratini cercato (k) corrispondeva a trovare quel numero che, moltiplicato per l'area cel quadratino(4) dava una approssimazione intera per ecceesso dell'area del cerchio in quastione ( che è circa 78,5)
quindimi son detto che $ k $ è uguale alla parte intera per eccesso di $ 78,5/4 $ che è circa venti....
in quale dell due è l'errore ? il risultto è ventitrè o venti ? è che mi sembra che siano troppo fuori dal cerchio nella figura i ventitrè....
non è come nel tuo caso in cui trovi 20, perchè i quadretti di area 4 non li puoi "smontare" che ne so in 4 quadretti di area 1. ( se la risposta non è adeguata ho mal interpretato la tua risposta.mathias.jag ha scritto:alllora...
premetto che facendo il disegno mi è uscito anche a me 23 ma...
Ho provato poi a formalizzare il risultato e mi sono uscite strane cose.
Dalla figura ho dedotto che trovare il numero di quadratini cercato (k) corrispondeva a trovare quel numero che, moltiplicato per l'area cel quadratino(4) dava una approssimazione intera per ecceesso dell'area del cerchio in quastione ( che è circa 78,5)
quindimi son detto che $ k $ è uguale alla parte intera per eccesso di $ 78,5/4 $ che è circa venti....
in quale dell due è l'errore ? il risultto è ventitrè o venti ? è che mi sembra che siano troppo fuori dal cerchio nella figura i ventitrè....
Per completare la dimostrazione dico che il cerchio e la figura composta da quadrati sono due figure che in qualsiasi modo si mettano nel senso se si fa ruotare per esempio la figura di quadratini rispetto al centro del cerchio non cambia assolutamente niente. da questo deduco che quella sopra descritta è l'unica combinazione possibile (migliore).
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
