Semicirconferenza

[derfisc.]

Sia AB il diametro di una semicirconferenza. Presi U e V sulla semicirconferenza sia R il punto di intersezione delle tangenti alla circonferenza in U e V, sia S il punto di intersezione delle rette passanti per A,U e B,V. Dimostrare che la retta passante per R e S è perpendicolare al diametro

ciao_

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

VA e UB sono altezze del triangolo ABS per triangoli rettangoli e si intersecano in H.
O è il centro della semicirf, OR e UV si incontrano in M che è il punto medio di UV perchè punto di incontro delle diagonali di un romboide.
UHVS e UOVR sono ciclici per angoli retti.
$ \angle UOV=\alpha $
Nel triangolo UVS con un po' di angle chasing il circoraggio vale
$ \displaystyle r = \frac{UV}{2\cos{\frac{\alpha}{2}}}= UR = RV $
Ma allora R è il centro della crf circosritta a UHVS e quindi sta su SH che è alteza di ABS

[elianto84]

Se ABC è un triangolo con ortocentro H, D ed E sono i piedi delle altezze rispettivamente da A e da B, M è il punto medio di AB ed N il punto medio di CH, si ha che

1) CDHE è ciclico e la circonferenza per i suoi vertici ha centro in N
2) Una rotazione di un angolo retto con centro in D, seguita da un'opportuna dilatazione, porta il triangolo CDH in ADB e il segmento DN nel segmento DM

Segue che DN è perpendicolare a DM così come EN è perpendicolare ad EM.