Semplice composizione trasformazioni

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Sepp
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Semplice composizione trasformazioni

Messaggio da Sepp » 19 giu 2007, 14:10

Sns 1986.
Dimostrare che la composizione di due omotetie dello spazio, con poli P e Q distinti, è ancora un'omotetia di polo R, allineato con P e Q, oppure una traslazione parallela a PQ.

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jordan
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Messaggio da jordan » 12 mar 2008, 01:39

bleaaah

l'idea base (riportata sui libri di prima liceo) è di portare l'origine degli assi nel punto di simmetria e poi tornare alla situazione iniziale. siano nello spazio $ n $dimensionale. sia $ P, Q \in R^n $ i due poli iniziali e $ a,b \in R $ i due fattori di omotetia, allora, partendo da un generico $ X \in R^n $ si ha:
$ X --> aX+P(1-a) --> b(aX+P(1-a))+Q(1-b)= $$ X(ab) + \{P(\frac{b-1}{1-ab}-1) -Q(\frac{b-1}{1-ab})\}(1- ab) $

conclusione: se $ ab \neq 1 $ allora l'omotetia risultante sarà di centro il vettore $ \{P(\frac{b-1}{1-ab}-1) -Q(\frac{b-1}{1-ab})\} $ e fattore $ ab $ (inoltre è allineato a $ P $ e $ Q $ dal momento che è combinazione lineare di essi). se $ ab=1 $ abbiamo dalla formula: $ X --> Xab - Pab + Q + b(P-Q)= X+ \{(P-Q)(b-1)\} $ che è chiaramente una traslazione di vettore

bye
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