OliForum Matematico

Sia ABCD un quadrilatero ciclico.
Sia $ ~ r(XYZ) $ l'inraggio del triangolo XYZ.

Dimostrare che $ ~ r(ABC) + r(ADC) = r(BCD) + r(BAD) $.

Scusate non ho saputo trattenermi..

Da un lemmino noto dimostrato da edriv al winter camp con parecchi Tolomeo r(ABC)=R(cos \alpha+cos \beta + cos \gamma -1) se \alpha \beta \gamma sono gli angoli di ABC. Sostitutendo nella tesi e ricordando che ABCD è ciclico e che cos (\pi - x) + cos x =0 otteniamo un'identità

Non ho niente in contrario al fatto che uno risponda subito, anzi, meglio!

Ma almeno scrivete le soluzioni decentemente... secondo me imbiancare non serve a niente!

Comunque bella soluzione... a volerlo fare con qualche calcolo, bisognava trovare la formula giusta per l'inraggio, e io a quella non avevo proprio pensato.

figurina:



i triangoli EHF e LGK sono congruenti perchè LG = EF per il noto rettangolo e per angle chansing $ \angle HFE = \angle MBA - \angle MBP = \angle MCD - \angle CMP = \angle KGL $

Ok, ottimo!

La mia soluzione era ancora diversa: sfruttando il fatto che gli incentri formano un rettangolo, ottengo per Pitagora $ ~ OE^2 - OF^2 = OL^2 - OG^2 $ (O non centra, vale per qualunque punto del piano).

Ma usando la formula $ OI^2 = R^2-2rR $, questo implica la tesi.

Piccola curiosità: con che programma si ottengono quelle belle immagini?? (vedi quella di Gabriel). Grazie

io uso cabri geometre II comunque non penso sia il migliore, soprattutto per poi postare l'immagine su internet, sicuramente è meglio quello che usa edriv a quanto pare dalle sue figure

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:io uso cabri geometre II comunque non penso sia il migliore, soprattutto per poi postare l'immagine su internet, sicuramente è meglio quello che usa edriv a quanto pare dalle sue figure

... e se non erro edriv usa C.a.R.: http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/hom ... index.html

Diretta conseguenza del Teorema Giapponese (a sua volta conseguenza delle relazioni che intercorrono tra inraggi, exraggi e circoraggi).

Per un riferimento:
http://www.cut-the-knot.org/proofs/jap.shtml