incentro..

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

incentro..

Messaggio da jordan » 22 apr 2007, 14:23

sia dato un triangolo ABC. sia L la circonferenza inscritta di centro I e tangente a AC in E e a BC in D. Siano K e L i simmetrici di E e D rispetto a I. Si dimostri che se AC+BC=3AB allora A, B, K, L sono su una stessa circonferenza... :o facile ma carino

Avatar utente
Boll
Messaggi: 1076
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Piacenza

Messaggio da Boll » 22 apr 2007, 17:35

Mah, insomma, definire facile un Imo ShortList recente (2005?) non mi sembra proprio in tema con questo forum... Comunque LINK!
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
Messaggi: 849
Iscritto il: 22 ott 2006, 14:36
Località: Carrara/Pisa

Messaggio da ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ » 22 apr 2007, 21:10

(non ho guardato il link :D)

chiamiamo $ \Gamma' $ il cerchio inscritto e $ \Gamma '' $ quello excritto tangente al lato BC, inoltre $ P: AB \cap \Gamma' $, $ H: CB \cap \Gamma'' $, $ R: AB \cap \Gamma'' $, $ Q: AB \cap \Gamma'' $.

Fatto noto $ AL $ e $ BK $ si incontrano nel punto di Nagel (vedi qui) quindi $ AL $ passa per $ H $

Per la congruenza delle varie tangenti alle due circonferenze abbiamo:

$ 2AQ = AQ + AR = CR + AC + AB + BQ = $$ CH + AC + AB + BH = CB + CA + AB = 4AB $
$ AQ = 2AB $ quindi $ CH = CR = AQ - AB = AB $

Quindi il triangolo ABH è isoscele sulla base AH ed è simile al triangolo isoscele PDB e quindi PD è parallela a AL.
Quindi il punto $ P' $, simmetrico di P rispetto a I, sta su AL.
inoltre $ 180 - \angle LKB = \angle P'KL = \angle P'PL $$ = 90 - \angle PP'L = \angle PAP' = \angle PAL $
e quindi ABKL è ciclico.
Ultima modifica di ¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ il 23 apr 2007, 16:09, modificato 1 volta in totale.

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Messaggio da jordan » 22 apr 2007, 21:47

Ho scritto facile perche ci ho messo na frega x risolverlo!! :) cmq non sapevo che era di uno shortlist

Rispondi