Allora allora allora, il carissimo Francesco mi ha umiliato postando in bianco una soluzione in 2 righe... La mia, da bravo muratore della geometria (conti, conti, conti) è un po' più lunghetta, ma a mio parere interessante e (forse) istruttiva, quindi ne posto almeno i passaggi base.
In tutto il post il nostro triangolo è il solito $ ABC $ di lati $ a,b,c $ e angoli $ \alpha,\beta,\gamma $ messi come le schede di Gobbino comandano, $ h_i $ sono le altezze, $ m_i $ sono le mediane.
Ora due lemmini che vi lascio come esercizi
Lemma 1 (noto)
$ $ {m_a}^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4} $ e cicliche
Lemma 2 (non credo tanto noto )
$ $ [A'BC]=\frac{a^3h_a}{8{m_a}^2} $ e cicliche
Quindi la nostra disuguaglianza diviene
$ $ \frac{a^3h_a}{8{m_a}^2}+\frac{b^3h_b}{8{m_b}^2}+\frac{c^3h_c}{8{m_c}^2}\ge [ABC] $
$ $ [ABC]\left( \frac{a^2}{4{m_a}^2}+\frac{b^2}{4{m_b}^2}+\frac{c^2}{4{m_c}^2}\right)\ge [ABC] $
$ $ \frac{a^2}{2b^2+2c^2-a^2}+\frac{b^2}{2c^2+2a^2-b^2}+\frac{c^2}{2a^2+2b^2-c^2}\ge 1 $
Essendo $ a,b,c $ i lati di un triangolo, i denominatori sono positivi (si vede anche bene dalla formula del quadrato della mediana), quindi ponendo $ x=2b^2+2c^2-a^2 $ e cicliche la disugaglianza diviene
$ $ \frac{2(y+z)-x}{9x}+\frac{2(x+z)-y}{9y}+\frac{2(x+y)-z}{9z}\ge 1 $
ovvero distribuendo e svolgendo i calcoli
$ $ \frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z} \ge 6 $ che è AM-GM
Tutti i passaggi sono invertibili quindi q.e.d.