Moltova TST 2007 - qualche linea di Eulero che concorre

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
Rispondi
Avatar utente
edriv
Messaggi: 1638
Iscritto il: 16 feb 2006, 19:47
Località: Gradisca d'Isonzo
Contatta:

Moltova TST 2007 - qualche linea di Eulero che concorre

Messaggio da edriv » 05 mar 2007, 18:44

Sia ABC un triangolo, P un punto al suo interno tale che $ \angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120° $.

Dimostrare che le rette di Eulero dei triangoli APB,BPC,CPA concorrono!

Sepp
Messaggi: 87
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Vicenza

Messaggio da Sepp » 05 mar 2007, 20:57

Un tale punto P è detto punto di Fermat-Torricelli e d'ora in poi lo chiamerò F.

Costruiamo F: tracciamo su ogni lato di ABC un triangolo equilatero e congiungiamo i vertici opposti. L'intersezione delle tre rette è proprio F.

Smanettando un pò si nota che le tre linee di Eulero concorrono nel baricentro di ABC. Lo dimostriamo.

La retta di Eulero di AFB passa per il suo baricentro così come FM dove M è il punto medio di AB.

Inoltre, detti $ G_{AFB} $ il baricentro di AFB, D il vertice del triangolo equilatero di lato AB e $ O_{AFB} $ il circocentro di ABC che chiaramente è anche centro di ABD, si ha che $ \frac{G_{AFB}M}{FM} = \frac{1}{3} = \frac{MO_{AFB}}{MD} $.

Quindi la linea di Eulero è parallela a FB. Stessa cosa per gli altri due triangoli.

Supponiamo che CM incontri la retta di Eulero in G. Allora per il parallelismo dimostrato sopra si ha che $ \frac{CG}{GM} = 2 $ e quindi G è baricentro di ABC.

Stessa cosa per gli altri triangoli e la concorrenza è dimostrata.[/img]

Avatar utente
Leblanc
Messaggi: 173
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggio da Leblanc » 06 mar 2007, 14:30

Questo problema viene benissimo con i numeri complessi e non e' affatto difficile, se qualcuno vuole provare... comunque la dimostrazione ricalca quella geometrica.
Edriv, ma dove hai trovato i Moldova Tst? Su mathlinks non li trovo...

piever
Messaggi: 645
Iscritto il: 18 feb 2006, 13:15
Località: Roma
Contatta:

Messaggio da piever » 06 mar 2007, 20:21

uhm, carino questo problema. Volendo si puo' anche mettere l'origine nel punto medio di BC, e a questo punto, essendo A,F e A' allineati (A' e' il vertice del triangolo equilatero di base BC), allora anche A/3,F/3 e A'/3 (ovverosia i baricentri di ABC, BCF, BCA') sono allineati. Ma il baricentro di BCA' e' il circocentro di BCF, e quindi il baricentro di ABC e' sulla retta di Eulero di BCF.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)

Rispondi