Rapporti esagonali

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Hammond
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Rapporti esagonali

Messaggio da Hammond » 15 feb 2007, 20:51

Dato un esagono convesso ABCDEF con AB=BC, CD=DE, EF=FA, dimostrare che
$ \frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\ge \frac32 $

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giove
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Messaggio da giove » 15 feb 2007, 21:55

Già 4° quesito della gara a squadre dell'Unimi
:)

Hammond
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Messaggio da Hammond » 15 feb 2007, 22:17

Ah, non ne avevo idea, la gara a squadre dell'Unimi neanche so cos'e' :).
C'e' anche sul libro delle olimpiadi della matematica, io l'ho preso da li'.

Hammond
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100 messaggi :)

Messaggio da Hammond » 07 mar 2007, 18:21

Visto che nessuno lo caga, me la faccio e me la dico.

Chiamo $ d_1 $ la lunghezza di BE, $ l_1 $ la lunghezza di AB e BC e $ t_1 $ la lunghezza di AC. Stessa cosa con pedici 2 e 3 per i vertici D e F.
La tesi diventa $ \displaystyle \frac{l_1}{d_1}+\frac{l_2}{d_2}+\frac{l_3}{d_3} \ge \frac32 $.

Per la disuguaglianza di Tolomeo $ \displaystyle l_1t_2+l_1t_3 \ge t_1d_1 $, ovvero $ \displaystyle \frac{l_1}{d_1} \ge \frac{t_1}{t_2+t_3} $.
Siccome valgono anche le sue cicliche, la tesi risulta maggiore o uguale a $ \displaystyle \sum_{cyc}{\frac{t_1}{t_2+t_3}} $, che a sua volta per Nesbitt e' maggiore o uguale a $ \displaystyle\frac32 $.

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