SNS 2006 # 1

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Gauss_87
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SNS 2006 # 1

Messaggio da Gauss_87 » 10 set 2006, 11:54

Dato un generico triangolo:

i) Dimostrare che i 3 punti sulla Retta di Eulero sono allineati.

ii) Dimostrare che un segmento (di Eulero) è doppio dell'altro.

iii) suggeritemi il testo.. :roll:
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

Loth
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Re: SNS 2006 # 1

Messaggio da Loth » 10 set 2006, 11:58

Gauss_87 ha scritto: iii) suggeritemi il testo.. :roll:
Dato il rettangolo $ HOLF $, con $ HO = 11 $ e $ LO=5 $, sapendo che H e O sono rispettivamente ortocentro e circocentro di un triangolo $ ABC $ e che F e' il piede dell'altezza uscente da A, determinare la lunghezza di $ BC $.

sqrt2
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Messaggio da sqrt2 » 10 set 2006, 12:30

Omotetia di ragione -1/2 e centro G (dove G indica il baricentro) applicata al triangolo ABC. Si osserva che il circocentro di ABC è anche l'ortocentro di A'B'C'.
Quindi l'omotetia suddetta fa corrispondere H ad O. Dunque H,G,O sono allineati e un segmento è doppio dell'altro.

Provare per credere.

P.S. con un disegno si vede tutto.

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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 12 set 2006, 12:51

nessun volontario per il punto (iii) :?:
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

sqrt2
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Messaggio da sqrt2 » 12 set 2006, 19:17

Veniva 28 se non sbaglio.
Ultima modifica di sqrt2 il 18 set 2006, 19:24, modificato 1 volta in totale.

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slash88
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Messaggio da slash88 » 13 set 2006, 19:04

boh io ci provo a consigliarti un testo...
indichiamo con H,G,O, rispettivamente, l'ortocentro, il baricentro ed il circocentro di un triangolo. Dimostrare che H,G,O stanno su una stessa retta e che inoltre vale la seguente uguaglianza HG=2GO
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Gauss_87
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Messaggio da Gauss_87 » 16 set 2006, 20:53

sqrt2 ha scritto:Veniva 28 se non sbaglio.


si, 28 con un paio di applicazioni di Pitagora...
Considerate la vostra semenza: fatte non foste a viver come bruti, ma per seguir virtute e canoscenza

MindFlyer

Re: SNS 2006 # 1

Messaggio da MindFlyer » 16 set 2006, 21:11

Gauss_87 ha scritto:i) Dimostrare che i 3 punti sulla Retta di Eulero sono allineati.
Ho una dimostrazione alternativa per questo:

3 punti su una retta sono sempre allineati.
CVD.

Whov
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Re: SNS 2006 # 1

Messaggio da Whov » 01 giu 2015, 21:30

Just for reference (visto che ancora manca una soluzione postata e che ho usato una cosa non proprio banale):
Testo ii) Un rettangolo HOMF ha i lati di lunghezza HO = 11 e OM = 5. Un triangolo ABC ha H come ortocentro, O come circocentro, M come punto mediano di BC e F come piede dell’altezza uscente da A. Si calcoli la lunghezza di BC. (Si può assumere come dimostrata la tesi del punto (i)).

Soluzione con truffa aggravata (circonferenza di Feuerbach):
Prendo W punto medio di HO. Esso è il centro della circonferenza di Feuerbach che passa per i piedi delle altezze e i punti medi dei lati (e per essere anche per i punti medi delle congiungenti l'ortocentro ai 3 vertici). Il raggio della circonferenza di Feuerbach è $ WF=WM=\sqrt{\dfrac{11}{2}^2+5^2}=\dfrac{\sqrt{221}}{2} $. Però questo raggio è la metà del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo (proprietà della circonferenza di Feuerbach). Allora $ OC=\sqrt{221} $. Perciò $ CM^2=OC^2-OM^2=14 $. Da cui BC=28 cvd.

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