Post ritiro dalla nonna 1 (Rotazioni)

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Boll
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Post ritiro dalla nonna 1 (Rotazioni)

Messaggio da Boll » 08 set 2006, 18:13

E' originale, quindi non sono proprio certo certo certo...

Dimostrare che la composizione di due rotazioni, se non è l'identità, ha al più un punto fisso.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

Hammond
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Messaggio da Hammond » 08 set 2006, 22:32

Be', dato che nelle rotazioni i vari punti del piano mantengono le posizioni reciproche, una composizione di rotazioni con più di un punto fisso è automaticamente l'identità. Ma ho paura che sia troppo facile così :)

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 08 set 2006, 22:55

Beh beh ... detta così suona molto come "Siccome due rotazioni fanno un'isometria, se questa ha due punti fissi è l'identità" che è falso perchè ci sono le simmetrie che hanno una retta di punti fissi... cmq manca poco da qui, dando per scontata la catalogazione delle isometrie piane... ma si fa anche senza. Su, è un esercizio per tutte le età...

darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 08 set 2006, 23:46

Beh... proviamo coi complessi ma è il mio primo tentativo quindi non garantisco :)

Rappresentando le due rotazioni con i numeri complessi, diciamo che esse hanno come centri $ z_0 $ e $ z_1 $ e ruotano di angoli $ \theta_0 $ e $ \theta_1 $.
Allora $ z -> [(z-z_0)*e^{i\theta_0}+z_0-z_1]*e^{i\theta_1}+z_1 $. Per avere un punto fisso zeta deve andare in sè, ossia, per dirla male, la "->" deve essere un uguale. Ma questa è una equazione di primo grado in zeta, che pertanto ha o infinite soluzioni (identità) o al più una, cvd.
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Sisifo
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Messaggio da Sisifo » 20 set 2006, 11:46

Hmm.. provo ad azzardare una soluzione pseudo-sintetica.
Poichè le rotazioni sono isometrie di segno pari, anche la loro composizione sarà un'isometria di segno pari. Supponiamo che possegga due punti fissi A e B. Sia C un punto non allineato con A e B tale che il triangolo ABC i vertici siano presi in senso orario e che abbia distanza a da A e b da B. Allora la sua immagine C' deve avere distanza a da A e b da B, perchè un'isometria conserva le distanze, e inoltre ABC' deve avere i vertici orientati in senso orario, perchè è un'isometria di segno pari. Quindi C' coincide con C, l'isometria ha almeno tre punti fissi e perciò coincide con l'identità.
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph

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