Ma quant'è fica la koreana!!! (la geometria, intendo...)

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what
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Ma quant'è fica la koreana!!! (la geometria, intendo...)

Messaggio da what » 08 set 2006, 15:31

Geometria koreana (TST)

Sia $ ABC $ un triangolo, e sia $ \gamma $ il suo incerchio di centro $ I $. Diciamo che $ \gamma $ tocchi i lati $ BC,CA,AB $ in $ D,E,F $ rispettivamente. Sia $ P $ il punto d'intersezione fra $ AD $ e $ \gamma $ distinto da $ D $, e sia inoltre $ K $ il simmetrico di $ D $ rispetto ad $ I $. Chiamiamo $ Q $ l'intersezione fra $ PK $ e $ EF $. Infine, chiamiamo $ X,Y $ le intersezioni di $ DE $ e $ DF $ con $ QA $.

Dimostrare che $ AX=AY $.

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edriv
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Messaggio da edriv » 29 set 2006, 20:21

Per favore ditemi dove è sbagliato il disegno che ci sto sbattendo la testa :evil:

Immagine

btw, dove hai trovato il testo? Su mathlinks e kalva non c'è.

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Messaggio da EvaristeG » 29 set 2006, 22:48

D,E,F non sono i piedi delle bisettrici, ma le tangenze del cerchio inscritto!

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Messaggio da edriv » 29 set 2006, 23:08

Dough! :lol:

Complimenti, buon occhio :P

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Messaggio da edriv » 30 set 2006, 13:44

Uau, ma che carina!

Immagine
Sia L l'intersezione tra DI e la parallela a BC per A.
Avremo che $ ~ \angle ALK = 90° $, ma anche $ ~ \angle APK = 180° - \angle KPD = 90° $, quindi ALKP è ciclico.
$ ~\angle ILA = 90° $, ma anche $ ~ \angle IFA = \angle IEA = 90° $ per ipotesi, quindi EFLA è ciclico.
Che FKPE è ciclico lo sappiamo già. Disegnamo le circonferenze circoscritte a questi quadrilateri... e vien fuori che FE, KP, LA sono i loro assi radicali e quindi concorrono in Q!

Ora che sappiamo che QA è parallela a BC, è facile. Usiamo ripetutamente il fatto che le due tangenti da un punto a una circonferenza sono uguali.
Per il parallelismo, YAF è simile a FBD, che è isoscele, quindi AY = AF. Allo stesso modo, AX = AE. Ma AE = AF, quindi AY = AX. $ ~ \square $

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Messaggio da what » 30 set 2006, 13:47

edriv ha scritto:btw, dove hai trovato il testo? Su mathlinks e kalva non c'è.
ahi ahi edriv, a che ti serve saperlo? non vorrai mica sbirciare la soluzione... :wink:
a parte gli scherzi, non so se sia in rete, io l'ho trovato insieme alla metà centro-meridionale dell'imo-team in viaggio di ritorno, sul libretto che la korea (molte squadre lo fanno) ha distribuito ai vari leader.


ps
si scrive D'OH, non DOUGH :D :D

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Messaggio da edriv » 14 ott 2006, 21:29

Dai, su questa figura c'è da dire ancora qualcosa.
Ad esempio, dimostrate che i punti medi di XK e XD sono conciclici con I, E, F.

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