Collinearità con punti medi bulgari

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Sepp
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Collinearità con punti medi bulgari

Messaggio da Sepp » 08 set 2006, 12:26

Bulgaria 1997.

Sia $ ABC $ un triangolo con ortocentro $ H $, e siano $ M $ e $ K $ i punti medi di $ AB $ e $ CH $ rispettivamente. Dimostrare che le bisettrici di $ \measuredangle CAH $ e $ \measuredangle CBH $ si incontrano in un punto sulla linea $ MK $.

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what
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Messaggio da what » 08 set 2006, 15:07


Sepp
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Messaggio da Sepp » 08 set 2006, 18:16

Caspita, ho passato mezz'ora con Cerca e non era venuto fuori niente. :evil:

Ho una soluzione abbastanza diversa. Siccome il problema è vecchio, la posto subito. :)

Sia $ P $ l'intersezione delle due bisettrici e siano $ A', B', C' $ i piedi delle altezze di $ ABC $.
$ P $ chiaramente stà sulla circonferenza di diametro $ AB $ (già dimostrato), ed essendo l'intersezione delle bisettrici dei due angoli $ \measuredangle CAH = \measuredangle CBH $, è punto medio di $ \smile A'B' $, da cui $ MP \bot A'B' $.
La circonferenza di Feuerbach di $ ABC $ ha diametro $ MK $ e $ MK \bot A'B' $, da cui la tesi.

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