Area massima di una ellisse

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Kocour
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Area massima di una ellisse

Messaggio da Kocour » 31 ago 2006, 16:42

Qual è l'area massima di una ellisse inscritta in un triangolo con i lati che misurano 3, 4 e 5?

BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas » 01 set 2006, 14:39

$ 6 \pi (3-2 \sqrt2) $ ?
BMcKMas

"Ci sono almeno tre modi per ingannare: la falsità, l'omissione e la statistica" Anonimo saggio

Kocour
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Messaggio da Kocour » 01 set 2006, 17:01

no

Leandro
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Messaggio da Leandro » 02 set 2006, 17:09

$ $\frac{2\pi}{3} $ ?
Leandro

BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas » 02 set 2006, 18:36

Kocour ha scritto:no

Hai ragione è sbagliato... ci riprovo:

$ \pi $

va bene ora?
BMcKMas

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Leandro
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Messaggio da Leandro » 02 set 2006, 19:38

No !

Kocour
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Messaggio da Kocour » 02 set 2006, 19:40

Il risultato di Leandro è quello che si "avvicina" di più, probabilmente ha fatto un banale errore di calcolo, la risposta corretta è
$ \frac{2\pi}{\sqrt{3}} $
Sarebbe interessante vedere come si arriva a questa conclusione

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 02 set 2006, 20:58

Kocour ha scritto: Sarebbe interessante vedere come si arriva a questa conclusione
Già, anche perchè fino ad adesso, più che geometria, sembrava una fiera di paese in cui per vincere il maiale bisogna indovinarne il peso...

Leandro
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Messaggio da Leandro » 03 set 2006, 08:42

Parto dal fatto che la massima ellisse inscritta in un
triangolo equilatero e' il cerchio inscritto.Infatti ogni
altra configurazione assegnerebbe a qualche lato del
triangolo un peso diverso ,contro la totale equivalenza
dei 3 lati.
Sia ora ABC (AB=4,AC=3) il triangolo dato ed ABC' il triangolo
equilatero costruito,dalla stessa parte di ABC,su AB ( o su AC).
Esiste certamente l'affinita', tra piani sovrapposti, che ha
(A,A),(B,B) e (C,C') come coppie di punti corispondenti
(con A e B punti uniti).La costante di affinita' e' allora
$ $\frac{Area(ABC)}{Area(ABC')}=\frac{6}{4\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{2} $
L'area dell'ellisse massima $ $\gamma' $ inscritta in ABC' e':
$ $Area(\gamma'))=\pi r'^2=\pi(\frac{2\sqrt3}{3})^2=\frac{4}{3}\pi $
e dunque l'area dell'ellisse massima $ $\gamma $ inscritta in ABC e':
$ $Area(\gamma)=\frac{4}{3}\pi*\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2\pi}{\sqrt3} $
In effetti nella mia prima risposta ho dimenticato il simbolo di radice quadrata !
Volendo e' possibile,in un riferimento cartesiano opportuno,determinare
l'equazione di $ \gamma $ e le sue caratteristiche.
Leandro

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 03 set 2006, 17:30

Una domanda :
Leandro ha scritto:Parto dal fatto che la massima ellisse inscritta in un
triangolo equilatero e' il cerchio inscritto.Infatti ogni
altra configurazione assegnerebbe a qualche lato del
triangolo un peso diverso ,contro la totale equivalenza
dei 3 lati.
Ecco ... perchè? Mi spiego : supponi (sto dicendo una cosa a caso) che le ellissi di area massima siano 3, ognuna delle quali ha la congiungente i fuochi parallela a un lato e a distanza f(a) da esso (f è una opportuna funzione del lato a del triangolo equilatero). Cosa non funziona "per simmetria" in questa configurazione? Certo è che, se il triangolo equilatero ha simmetrie per rotazione e riflessione, anche la configurazione massimale (o minimale ... c'è pure questo problema) deve averle, ma nessuno assicura che tale massimo sia unico e quindi a questo punto debba poi essere il cerchio inscritto.

Leandro
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Messaggio da Leandro » 04 set 2006, 09:52

Come ellisse minima (sempre riferendomi al triangolo equiltero) prenderei
quella ridotta ad un'altezza del triangolo che tocca 2 lati nel loro vertice
comune ed il terzo nel suo punto medio.
Quanto all'unicita' del massimo, e' la questione stessa
che la garantisce dato che si tratta di un massimo assoluto e non relativo.
Per le tre ellissi di cui parli (quelle aventi la retta focale parallela
ad un lato) quello che mi lascia perplesso e' la posizione dei punti
di contatto.Per quanto mi sia sforzato non sono riuscito a trovare
ellisse i cui punti di contatto si succedessero nella giusta equivalenza
senza che l'ellisse si riducesse ad uno sgorbio.
L'unica posizione possibile e' quando questi 3 punti di contatto diventano i
punti medi dei lati e l'ellisse una circonferenza.
Detto questo riconosco che quanto precede sia frutto piu' d'intuizione
che di logica.Aspetto quindi delucidazioni.
Leandro

BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas » 04 set 2006, 18:09

Le osservazioni di Evariste (come sempre) sono azzeccate.
Non è difficile dimostrare (con considerazioni di geometria analitica) che il cerchio è l'ellisse di area massima iscritta nel triangolo equilatero in ipotesi di simmetria: ovvero con l'asse su uno degli assi di simmetria del triangolo.
Un po' più complicato (devo confessare che non l'ho fatto) è dimostrare che tale massimo vale anche per ellissi con l'asse inclinato.
Forse si potrebbe adottare una soluzione poco elegante per questo problema considerando il caso di un triangolo isoscele con angolo al vertice molto stretto (infinitesimo!) per il quale si vede subito che l'ellisse simmetrica ha area massima. Da ciò, visto che la forma del triangolo non è rilevante .....

Ma mi aspetto un po' di critiche sul rigore di questo ragionamento.

ciao
BMcKMas

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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 07 set 2006, 01:14

Vediamo ... la prendo alla lontana :

LEMMA
Il più piccolo triangolo circoscritto ad una circonferenza è quello equilatero.

DIM
Supponiamo che ABC, circoscritto alla circonferenza $ \Gamma $, sia di area minima e tale che $ \widehat{A}>\widehat{B} $. Scegliamo dunque $ A',B' $ su $ CA,CB $ tali che $ A'B' $ sia tangente a $ \Gamma $ e $ CA'=CB' $; chiamiamo D l'intersezione di AB e A'B', ovviamente DB>AD e DB'>AD' (poichè$ \widehat{A}>\dfrac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}=\widehat{A'} $).
Siano ora E,F le proiezioni di A,B su A'B'; poichè AD< DB, si ha EA< FB, quindi l'area di BB'D è maggiore dell'area di AA'D, ovvero l'area di ABC è maggiore dell'area di A'B'C. Assurdo.
QED


TEO
La più grande ellisse inscritta in un triangolo equilatero è il cerchio inscritto.

DIM
Sia S l'area del triangolo equilatero (t), sia I l'area del cerchio inscritto (c); supponiamo che esista un'ellisse (e) inscritta di area E tale che E>I.
Portiamo allora con un'affinità l'ellisse (e) nel cerchio (c); il triangolo equilatero (t) andrà in un triangolo ABC circoscritto a (c). Ovviamente, si avrà
$ \dfrac{E}{S}=\dfrac{I}{S_{ABC}} $
Per il lemma precedente, $ S<S_{ABC} $ e dunque
$ \dfrac{I}{S_{ABC}}<\dfrac{I}{S} $
da cui E<I. Assurdo.
QED


Questo di certo dimostra quello che vogliamo ... non so assolutamente se sia la via più breve.
Ultima modifica di EvaristeG il 07 set 2006, 17:04, modificato 1 volta in totale.

BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas » 07 set 2006, 14:44

Mi sembra completa e rapida.

grazie
BMcKMas

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HomoPatavinus
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Messaggio da HomoPatavinus » 07 set 2006, 16:59

dev'essermi sfuggito qualcosa perchè a me risulta che esistono infinite copie di punti A' B' presi rispettivamente sul lato AC e BC che risultano tangenti alla circonferenza, e tra questi molti tali che DB < AD .

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