Cerchi che si intersecano, ortocentri e rettangoli
Cerchi che si intersecano, ortocentri e rettangoli
Due cerchi di raggio diverso si intersecano in A e B. Le due tangenti comuni toccano un cerchio in P e Q, l'altro in R e S. Dimostrare che gli ortocentri di APQ, BPQ, ARS, BRS formano un rettangolo.
Purtroppo soltanto la simmetria non credo che basti, o almeno non in modo che mi passi per la testa.
Servirà dimostrare che l'ortocentro di APQ e l'ortocentro di BPQ sono equidistanti dalla retta che congiunge i due centri: in particolare, dimostro che distano come A e B (ovviamente equidistanti dai due centri). Che è un rettangolo, si conclude per simmetria.
Il disegno si spiega da solo, ovviamente.
Parte 1: l'ortocentro di APQ dista da O1O2 come B. Equivale a dire che l'angolo ^HBA è retto.
Chiamo alfa l'angolo ^APQ, beta l'angolo ^AQP.
Allora: - ^PBA= alfa, ^QBA = beta, per il teorema degli angoli alla circonferenza.
- ^PHA = beta, ^QHA = alfa, per angle chasing generico sull'ortocentro.
Concludiamo che ^PHQ = ^PBQ = alfa + beta, o anche che PHAQ è un ciclico!
A questo punto: ^ABH = ^ABQ + ^QBH = beta + ^QPH = 90°, qed.
(le lettere sono uguali ma il disegno è cambiato...)
Voglio dimostrare che ^HBA è retto.
Chiamo ^BPQ = alfa e ^BQP = beta.
Allora: ^PHQ = alfa + beta (il simm. dell'ortocentro rispetto al lato è sulla circ. circoscritta)
^PAQ = 360 - (^PAB + ^QAB) = somma degli angoli alla circonferenza di PB e QB = alfa + beta.
Quindi PHAQ è ciclico!
Ma allora ^HAB = 360 - ^HAQ - ^QAB = ^HPQ + 180 - ^QAB = ^HPQ + beta = 90°!
E concluderei con un bel SGOPN, bel problema
Servirà dimostrare che l'ortocentro di APQ e l'ortocentro di BPQ sono equidistanti dalla retta che congiunge i due centri: in particolare, dimostro che distano come A e B (ovviamente equidistanti dai due centri). Che è un rettangolo, si conclude per simmetria.
Il disegno si spiega da solo, ovviamente.
Parte 1: l'ortocentro di APQ dista da O1O2 come B. Equivale a dire che l'angolo ^HBA è retto.
Chiamo alfa l'angolo ^APQ, beta l'angolo ^AQP.
Allora: - ^PBA= alfa, ^QBA = beta, per il teorema degli angoli alla circonferenza.
- ^PHA = beta, ^QHA = alfa, per angle chasing generico sull'ortocentro.
Concludiamo che ^PHQ = ^PBQ = alfa + beta, o anche che PHAQ è un ciclico!
A questo punto: ^ABH = ^ABQ + ^QBH = beta + ^QPH = 90°, qed.
(le lettere sono uguali ma il disegno è cambiato...)
Voglio dimostrare che ^HBA è retto.
Chiamo ^BPQ = alfa e ^BQP = beta.
Allora: ^PHQ = alfa + beta (il simm. dell'ortocentro rispetto al lato è sulla circ. circoscritta)
^PAQ = 360 - (^PAB + ^QAB) = somma degli angoli alla circonferenza di PB e QB = alfa + beta.
Quindi PHAQ è ciclico!
Ma allora ^HAB = 360 - ^HAQ - ^QAB = ^HPQ + 180 - ^QAB = ^HPQ + beta = 90°!
E concluderei con un bel SGOPN, bel problema