Il triangolo delle altezze

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dato un triangolo acutangolo ABC, siano A' B' e C' punti sui lati BC, AC e AB. Dimostrare che il perimetro di A'B'C' è minimo sse A', B' e C' sono i piedi delle altezze condotte da A, B e C

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Posto in invisibile se qualcun altro vuole provarci:

Evidentemente, abbiamo che l'ellisse avente come fuochi due dei due dei vertici del triangolo minimo e passante per il terzo, è tangente al lato del triangolo grande su cui giace il terzo punto.
Questo accade se e solo se i tre punti sono i piedi delle altezze.

Se A',B'e C' sono i piedi delle altezze, abbiamo che, essendo ABB' e ABA' triangoli rettangoli con l'ipotenusa in comune, ABA'B' è ciclico. Allo stesso modo sono ciclici anche BCB'C' e CAC'A'
Quindi \angle CAB=180°- \angle BA'B' =\angle CA'B' e \angle CAB=180°- \angle CA'B' =\angle BA'B' quindi \angle BA'B' =\angle CA'B'
Perciò l'ellisse avente come fuochi B' e C' e passante per A' è tangente a BC. Allo stesso modo l'ellisse avente come fuochi A' e C' e passante per B' è tangente a AC e l'ellisse avente come fuochi B' e A' e passante per C' è tangente a BA

Se \angle ABC'= \angle BB'A' per tutte e tre le coppie di angoli, allora abbiamo che ABA'B', BCB'C' e CAC'A' sono ciclici e con un mero conto di angoli si vede che \angle AC'C=\angle BC'C quindi CC' è un'altezza.
Allo stesso modo sono altezze anche AA' e BB'

Quindi l'unico triangolo che può essere il minimo è quello costruito sui piedi delle altezze, per cui il perimetro di A'B'C' è minimo se e solo se A',B',C' sono i piedi delle altezze, QED

Se non è chiaro, ditelo.

ciao

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La più bella dimostrazione che ho visto di ciò (presente su "What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods" di R. Courant e H. Robbins) è la seguente.

Per il triangolo delle altezze si ha C'A'C=B'A'C e così via.
ciò deriva semplicemente dalla ciclicità dei quadrilateri AB'A'B, AC'A'C, BC'B'C.

ora, detto questo, in figura:

abbiamo simmetrizzato rispetto ai propri lati il triangolo ABC, con 2 triangoli all'interno: quello tratteggiato è uno qualsiasi, l'altro è il triangolo delle altezze. Per la proprietà del triangolo delle altezze di cui sopra, si osserva che i punti verdi sono allineati. Poi si vede che l'AC del primo triangolo e l'AC dell'ultimo sono paralleli (se contiamo di quanto ruota il lato AC in ogni riflessione abbiamo in totale 0). Allora PP'X'X è parallelogrammo, PP'=XX'. Ora, PP' è il doppio del perimetro del triangolo delle altezze; la spezzata XX' è doppia del perimetro dell'altro triangolo, ed è maggiore di XX' , dunque di PP'