aree simpatiche...

[Simo_the_wolf]

Sia ABC un triangolo non equilatero e siano O e H rispettivamente il circocentro e l'ortocentro di questo triangolo.

Dimostrare che, tra le aree di AOH, BOH e COH ce n'è una che è somma delle altre due.

[Leandro]

E' facile vedere che,essendo P ed N punti medi di AB ed AC, i triangoli
APR e MSN sono congruenti e dunque PR=SN;inoltre ,per una nota
proprieta' dell'ortocentro e del circocentro di un triangolo,e' AH=2.OM
Cio' posto (indicando con S(XYZ) l'estensione di un triangolo) si ha:
S(AOH)=AH.DM/2=OM.DM=OM.RS=OM(PS-SN)=OM.PS-OM.SN
Ovvero:
S(AOH)=2S(POM)-2S(MON)
Analogamente risulta:
S(BOH)=2S(PON)-2S(MON)
S(COH)=2S(PON)-2S(POM)
da cui consegue appunto: S(BOH)=S(AOH)+S(COH)
Leandro

[frengo]

un'altra soluzione.

Mettendo l'origine nel circocentro i tre vertici sono i tre vettori $ \vec{A},\vec{B} $ e $ \vec{C} $. Il baricentro è $ \displaystyle \vec{G}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3} $.
Per fatti relativi alla retta di eulero l'ortocentro è $ \vec{H}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C} $.

Mettendo il vettore $ \vec{H} $ parallelo all'asse delle ascisse, l'ultima relazione diventa

$ y_h=0=y_a+y_b+y_c $
$ x_h=x_a+x_b+x_c $

dalla prima,WLOG supponendo che $ A $ stia da una parte e $ B $ e $ C $ dall'altra,ricaviamo che

$ |y_a|=|y_b|+|y_c| $

$ dist(A;OH)=dist(B;OH)+dist(C;OH) $

moltiplicando per$ \displaystyle \frac{OH}{2} $

$ S(AOH)=S(BOH)+S(COH) $


ciao ciao

[Simo_the_wolf]

Ok adesso la mia:

Sappiamo che detto O l'origine in un piano allora $ |\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}|=|A||B|* \sin{\alpha} = 2[AOB] $ dove $ \alpha $ è l'angolo compreso tra i due vettori.

Adesso, sapendo che $ \overrightarrow{H}=\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C} $ abbiamo che:

$ \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{H}+\overrightarrow{B}\times \overrightarrow{H}+\overrightarrow{C} \times \overrightarrow{H} = (\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}) \times (\overrightarrow{A}+\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}) = 0 $

e quindi $ \pm [AOH] \pm [BOH] \pm [COH] =0 $ con il segno negativo o positivo a seconda del verso del prodotto vettoriale. La conclusiano è abbastanza ovvia ora...

[darkcrystal]

Ancora un'altra... che poi è quella di frengo senza vettori...
chiamiamo r la retta di Eulero, supponiamo wlog che A stia da una parte e B e C dall'altra rispetto ad r, e prendiamo i seguenti punti:
M punto medio di BC;
K proiezione ortogonale di M su r
J proiezione di A su r
G baricentro

MK è la media delle distanze di B e C da r; perciò possiamo calcolare le aree così:
$ A_{BOH}+A_{COH}=\frac{OH*2MK}{2}=OH*MK $
Chiamiamo $ \alpha=OGM $, si ha
$ MK=MH*sin(\alpha) $
$ A_{BOH}+A_{COH}=OH*MK=OH*MH*sin(\alpha) $

Calcoliamo ora $ A_{AOH} $. Dato che, per una nota proprietà delle mediane, AG=2*GM, essa vale $ \frac{OH*AJ}{2}=\frac{OH*AG*sin(\alpha)}{2}=\frac{OH*2*HM*sin(\alpha)}{2}=OH*MH*sin(\alpha) $, ossia $ A_{BOH}+A_{COH}=A_{AOH} $

Ciao!

[Leandro]

@Simo
Senti Simo, ma quel $ $\cos\alpha $ non dovrebbe essere $ $\sin\alpha $?
Ovviamente questo solo per la precisione e non toglie nulla
alla tua dimostrazione.
Leandro

[Simo_the_wolf]

D'oh!

Madornale svista... Grazie Leandro!