Si consideri un punto P variabile con coordinate(0,t^2) con t > 0 fra le tangenti alle parabole (Gamma: y= 4x-x^2 e Gamma':y=6x-x^2) uscenti da P, ve ne sono due i cui due punti di contatto T e T' appartengono al primo quadrante per opportuni valori di P. Determinare le coordinate di T e T' verificando che essi appartengano ad una stessa retta parallela all'asse delle ordinate.
Scusate per il non-uso del latex.
update: che sbadato riporto imemdiatamente le parabole
Tangenti per.. parametro
Tangenti per.. parametro
Ultima modifica di sotyri il 04 mar 2006, 23:07, modificato 1 volta in totale.
Per non fare due volte calcoli quasi uguali, considero la parabola $ y=ax-x^2 $ : a calcoli finiti, sostituirò ad $ a $ i valori 4 e 6. La generica retta passante per P ha equazione $ y=mx+t^2 $; ponendola a sistema con la parabola ottengo l’equazione $ x^2+x(m-a)+t^2=0 $. La condizione $ \Delta=0 $ fornisce $ (m-a)^2=4t^2 $ da cui ricavo m-a=-2t (l’altra soluzione va scartata perché x deve essere positiva e quindi l’equazione deve avere due variazioni). Sostituisco questo valore nel sistema e lo risolvo, ottenendo che il punto di contatto è T(t; t(a-t)): esso si trova nel primo quadrante se t<a.
Posto ora a=4 e a=6, la limitazione finale su t è 0<t<4; la retta che unice i due punti di tangenza è x=t .
Posto ora a=4 e a=6, la limitazione finale su t è 0<t<4; la retta che unice i due punti di tangenza è x=t .