Aiuto - problema di trigonometria

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stefano88
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Aiuto - problema di trigonometria

Messaggio da stefano88 » 20 feb 2006, 14:25

Mi servirebbe una mano per questo problema:
Dato un triangolo rettangolo ABC, con AB ipotenusa e la bisettrice relativa all'ipotenusa CD, si sa che:
- AB = $ 2\sqrt{3}l $
- CD = $ l $

Devo conoscere l'angolo ABC (oppure CAB che è complementare).

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desko
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Messaggio da desko » 21 feb 2006, 10:40

Senza dubbio 75°, ma non l'ho ancora dimostrato. Si può verificarlo a posteriori, ma preferisco cercare una dimostrazione euristica.
"Caso è lo pseudonimo usato da Dio quando non vuole firmare col proprio nome"

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peppeporc
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bon

Messaggio da peppeporc » 22 feb 2006, 21:39

Well... una nota proprietà della bisettrice è quella di dividere il lato opposto in segmenti proporzionali agli altri due lati, nel nostro caso:
$ [tex] $AD:AC=DB:CB \quad^{[*]}[/tex]; l'obiettivo è dunque determinare i membri della proporzione con i dati che fornisce il problema.

Anzitutto pongo l'angolo da trovare $ \angle ABC = \alpha $ ($ 0<\alpha<90° $), ed essendo il triangolo rettangolo, allora $ \displaystyle CB = 2\sqrt{3}l\cos\alpha \qquad $ e $ \displaystyle \qquad AC = 2\sqrt{3}l\sin\alpha $.

Poi, applicando il teorema dei seni nel triangolo $ ACD $, ho che
$ \displaystyle \frac {CD}{\sin (90°-\alpha)} = \frac {AD}{\sin 45°} \qquad $, per cui $ \displaystyle \qquad AD = \frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha} \qquad $, e quindi $ \displaystyle \qquad DB=AB-AD=2\sqrt{3}l-\frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha} $.

Ora sappiamo tutti i lati in funzione di $ \alpha $, sostituendoli in $ [tex] $^{ [*]}[/tex] e facendo gli opportuni prodotti, si ha che:
$ \displaystyle \frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha}\cdot 2\sqrt{3}l\cos\alpha=2\sqrt{3}l\sin\alpha\cdot $$ \displaystyle \left (2\sqrt{3}- \frac {\sqrt{2}l}{2\cos\alpha}\right ) $.
Dopo semplici passaggi e semplificazioni (basta chiedere se non dovessero parere semplici), si arriva a
$ \displaystyle \sin\alpha +\cos\alpha=2\sqrt{6}\sin\alpha\cos\alpha \quad $; elevando ambo i membri al quadrato:
$ \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=24\sin^2\alpha\cos^2\alpha $.
Ora, si sa che $ sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1 $, pertanto ci si riduce a trovare le soluzioni dell'equazione
$ \displaystyle 24\sin^2\alpha\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha - 1=0 $. Quella negativa è da scartare, quella accettabile è
$ \displaystyle \sin\alpha\cos\alpha=\frac{1} {4} \quad \Longrightarrow \quad 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac {1}{2} \quad \Longrightarrow $$ \displaystyle \quad \sin2\alpha = \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad 2\alpha = 30° \vee 150°\quad \Longrightarrow \quad \alpha=15° \vee 75° $.
Tu chiamale, se vuoi, emozioni.

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stefano88
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Re: bon

Messaggio da stefano88 » 23 feb 2006, 21:53

Con un'equazione leggermente differente ero arrivato pure io a $ \displaystyle \quad \sin2\alpha = \frac{1}{2} \quad $.
Solo che da li ho dedotto $ \displaystyle \quad \sin2\alpha = \frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad 2\alpha = 30° \quad \Longrightarrow \quad \alpha=15° $ e come un deficiente mi sono mangiato una soluzione, che tra l'altro era quella della prof.
Per fortuna non sono stato interrogato io con questo problema.
Grazie per la soluzione.

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