senza i vettori

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gianmaria
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senza i vettori

Messaggio da gianmaria » 18 feb 2006, 19:48

Posto $ \alpha = \frac{2 \pi}n $ , consideriamo
$ A = \sin \alpha +\sin 2 \alpha + \ldots + \sin n \alpha $
$ B = \cos \alpha +\cos 2 \alpha + \ldots + \cos n \alpha $
Formule di questo tipo sono presenti in molti topics e vengono di solito calcolate con i vettori o i numeri complessi. Sareste calcolarle con la sola goniometria?

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jim
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Messaggio da jim » 18 feb 2006, 21:45

sia
$ \displaystyle A= \sum_{i=1}^{n} \sin \frac{2\pi\imath}{n} $
moltiplico entrambi i membri per $ \displaystyle 2sin \frac{\pi}{n} $
ora l'equazione diventa
$ \displaystyle A\cdot 2 \sin \frac{\pi}{n}= \sum_{i=1}^{n} \sin \frac{2\pi\imath}{n}\cdot 2 \sin \frac{\pi}{n} $
Utilizzando le formule di Werner, trasformo il secondo membro e diventa:
$ \displaystyle A\cdot 2 \sin \frac{\pi}{n}= \sum_{i=1}^{n} \left(\cos \frac{\pi(2\imath-1)}{n}-\cos \frac{\pi(2\imath+1)}{n}\right) $
quindi, dal momento che, $ \displaystyle \cos \frac{\pi(2(\imath+1)-1)}{n}=\cos \frac{\pi(2\imath+1)}{n} $, allora tutti i valori centrali dell'espressione si annullano, e restano solo gli estremi:
$ \displaystyle A\cdot 2 \sin \frac{\pi}{n}= \cos \frac{\pi}{n}-\cos\frac{(2n+1)\pi}{n} $ cioè
$ \displaystyle A\cdot 2 \sin \frac{\pi}{n}= \cos \frac{\pi}{n}-\cos\frac{1}{n} $
e quindi
$ \displaystyle A=\frac{\cos \frac{\pi}{n}-\cos\frac{1}{n}}{2 \sin \frac{\pi}{n}} $

gianmaria
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Messaggio da gianmaria » 19 feb 2006, 16:21

Buona l'idea, ma hai sbagliato un calcolo nel penultimo passaggio. E per B? Segnalo inoltre l'esistenza (solo per A) anche di un altro metodo.

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jim
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Messaggio da jim » 19 feb 2006, 22:59

Già, temo proprio che tu abbia ragione:
$ \displaystyle \cos \frac{(2n+1)\pi}{n}=\cos \frac {\pi}{n} $
da cui
$ \displaystyle A \cdot 2\sin \frac{\pi}{n}=0 $
ora , per $ \displaystyle n>1 $, $ \displaystyle \sin \frac{\pi}{n}>0 $, quindi $ A=0 $
d'altra parte, per $ \displaystyle n=1 $, si ha

$ \displaystyle A=\sin 2\pi=0 $

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