a,b,c angoli acuti

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enomis_costa88
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a,b,c angoli acuti

Messaggio da enomis_costa88 » 28 gen 2006, 16:53

Sia sen(a)+sen(b)+sen(c)=1, con a,b,c angoli acuti.

provare che si ha: $ tan^2(a)+tan^2(b)+tan^2(c)\ge \frac{3}{8} $

Buon lavoro.

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Boll
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Re: a,b,c angoli acuti

Messaggio da Boll » 28 gen 2006, 17:33

Sempre per i facenti parte del comitato
enomis_costa88 ha scritto: Sia $ \sin(a)+\sin(b)+\sin(c)=1 $, con a,b,c angoli acuti.

provare che si ha: $ \displaystyle \tan^2(a)+\tan^2(b)+\tan^2(c)\ge \frac{3}{8} $

Buon lavoro.
$ \tan^2(x)=\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\dfrac{\sin^2(x)}{1-\sin^2(x)}=\dfrac{1}{1-\sin^2(x)}-1 $

quindi

$ \displaystyle \sum \dfrac{1}{1-\sin^2(a)}\ge \dfrac{27}{8} $

Now $ f(x)=\dfrac{1}{1-x^2} $ è convessa per $ x\in [-1,1] $, e le ipotesi sull'angolo impongono $ x\ge 0 $ quindi potremo applicare Jensen e avremo

$ \displaystyle \sum \dfrac{1}{1-\sin^2(a)}\ge 3*\dfrac{1}{1-1/9}=\dfrac{27}{8} $

al solito i passaggi sono invertibili e quindi possiamo fare ipotesi-->tesi
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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frengo
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Messaggio da frengo » 28 gen 2006, 18:43

anch'io l'avevo risolta con jensen...
$ UP! $per una soluzione senza jensen (ogni volta che lo uso mi sento un pò in colpa....)

ciao ciao a tutti

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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 28 gen 2006, 19:19

frengo ha scritto:per una soluzione senza jensen (ogni volta che lo uso mi sento un pò in colpa....)
A usare Jensen c'ero arrivato anche io (anche se con non poca fatica :oops: )..l'avevo postata apposta per leggere una soluzione carina!
BTW degnissima del comitato Boll :D

Leandro
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Messaggio da Leandro » 09 feb 2006, 13:04

Rileggendo questo post mi sono chiesto se poteva valere la pena
di sostituire Jensen col piu' familiare (?) Cauchy-Schwarz e qualche
altra nota relazione.
Poniamo allora :sina=x,sinb=y,sinc=z con 1>x,y,z>0 e x+y+z=1
E' pure $ \displaystyle 3(x^2+y^2+z^2) \geq (x+y+z)^2=1 $ da cui $ \displaystyle x^2+y^2+z^2 \geq \frac{1}{3} $
Con cio' si ha:
$ LHS=\frac{x^2}{1-x^2}+\frac{y^2}{1-y^2}+\frac{z^2}{1-z^2} \geq \frac{(x+y+z)^2}{3-(x^2+y^2+z^2)} \geq \frac{1}{3-\frac{1}{3}}=\frac{3}{8} $
Leandro

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