La diseguaglianza....piu' facile

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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Leandro
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La diseguaglianza....piu' facile

Messaggio da Leandro » 27 gen 2006, 18:47

Si consideri il generico triangolo ABC inscritto nella circonferenza $ \dispalystyle \Phi $ e siano:
$ \displaystyle \alpha,\beta,\gamma $ gli angoli interni del triangolo
$ \displaystyle l_a,l_b,l_c $ le lunghezze delle bisettrici interne del medesimo
$ \displaystyle L_a,L_b,L_c $ le lunghezze di queste bisettrici prolungate fino
ad intersecare $ \displaystyle \Phi $.
Dimostrare che si ha:
$ \displaystyle \frac{l_a}{L_asin^2\alpha}+\frac{l_b}{L_b sin^2\beta}+\frac{l_c}{L_c sin^2\gamma} \geq 3 $
Leandro

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elianto84
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Messaggio da elianto84 » 14 feb 2006, 20:06

Bella bestia!
Parziale workaround:

Se J è il punto dove la bisettrice uscente da A taglia BC, e K è il punto dove
la medesima bisettrice intercetta il cerchio circoscritto, dalla similitudine tra
i triangoli ABJ e AKC segue AJ*AK=AB*AC, ovvero $ L_a l_a = bc $
Dal teorema di Carnot (o, equivalentemente, da quello di Erone) abbiamo
$ \displaystyle\sin^2\alpha=1-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2 $$ \displaystyle = \frac{1}{4b^2c^2} (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) $
Se ora chiamiamo A,B,C le lunghezze dei segmenti di Soddy (quelli determinati
dai vertici e dalle proiezioni dell'incentro sui lati) abbiamo
$ \displaystyle a=B+C\quad b=A+C\quad c=A+B $
$ \displaystyle \quad A=\frac{r}{\tan(\alpha/2)} \quad B=\frac{r}{\tan(\beta/2)} \quad C=\frac{r}{\tan(\gamma/2)} $
Assunto che il raggio del cerchio inscritto sia 1 la disuguaglianza assume la forma
$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{(A+B)^2(A+C)^2}{BC(2A+B+C)^2} \geq 3 $
dove il "vincolo nascosto" è
$ \displaystyle A+B+C = ABC $
di diretta derivazione dalle formule di somma della cotangente.
Sbarazzandoci dei denominatori abbiamo da dimostrare che un certo polinomio, cui attribuiamo il simbolico nome di $ P(a,b,c) $
(omogeneo di nono grado nella variabili A,B,C e invariante rispetto a shift ciclici di quest'ultime), ammette minimo vincolato pari a 0.
Passando ai moltiplicatori di Lagrange abbiamo
$ \displaystyle \frac{\partial P}{\partial A} = \lambda (BC-1) $
$ \displaystyle \frac{\partial P}{\partial B} = \lambda (AC-1) $
$ \displaystyle \frac{\partial P}{\partial C} = \lambda (AB-1) $
Dato che per il lemma di Eulero sui polinomi omogenei
$ \displaystyle \sum_{cyc} A \frac{\partial P}{\partial A} = 9P $
I punti "stazionari" della nostra funzione sono tutti associati al moltiplicatore
$ \displaystyle \lambda = \frac{9P(A,B,C)}{2ABC} $
Il punto $ A=B=C=\sqrt3 $ è sicuramente di minimo relativo, dato che
palesemente non è un massimo e soddisfa le Lagrangiane.
Qui però mi fermo, dato che nulla di particolarmente evidente sembra assicurarmi che quello trovato
sia un minimo assoluto... magari giocherellando con le simmetrie delle variabili e la geometria del
problema se ne viene fuori comodamente... A risentirci.
Jack alias elianto84 alias jack202

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Leandro
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Messaggio da Leandro » 14 feb 2006, 21:00

Chi si rivede,m'ero quasi dimenticato di questo mio post.
A fronte della sofisticata soluzione di Elianto84 ,la mia (Dio mio,"mia" e' un
po' troppo,diciamo fotocopiata!) fa la sua brava ...figurella.
Comunque eccola.
Per AM-GM si ha:
$ \displaystyle LHS \geq 3 \sqrt[3]{\frac{l_al_bl_c}{L_aL_bL_c\sin^2 \alpha \sin^2\beta \sin^2 \gamma}} $
D'altra parte ,detta $ \displaystyle h_a $ l'altezza relativa al lato a, si ha:$ \displaystyle h_a \leq l_a,L_a \leq 2R $ (e simili) e pertanto:
$ \displaystyle LHS \geq 3 \sqrt[3]{\frac{h_ah_bh_c}{8R^3\sin^2 \alpha \sin^2\beta \sin^2 \gamma}} $
Ora risulta: $ \displaystyle h_a=c \sin \beta=2R\sin \beta \sin \gamma $ ( e simili) per cui alla fine si ha:
$ \displaystyle LHS \geq 3 \sqrt[3]{\frac{8R^3 \sin^2 \alpha \sin^2\beta \sin^2 \gamma}{8R^3\sin^2 \alpha \sin^2\beta \sin^2 \gamma}}=3 $
Leandro
Ultima modifica di Leandro il 15 feb 2006, 14:38, modificato 1 volta in totale.

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 15 feb 2006, 09:34

Bene, vedo che l'uso del LaTeX si sta diffondendo anche tra i nuovissimi utenti.
Leandro, permettimi solo un suggerimento:
scrivi sempre "\sin" per indicare la funzione seno, e non "sin", che indica invece il prodotto s*i*n.
Ecco la differenza:
$ \sin \alpha $ ---> corretto
$ sin \alpha $ ---> errato.
Un discorso analogo vale per tutte le altre funzioni trigonometriche, i moduli, i logaritmi, etc.

Leandro
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Messaggio da Leandro » 15 feb 2006, 14:41

Ho corretto :cosi' viene meglio.Grazie per la segnalazione.
Leandro

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