mediane

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Simo_the_wolf
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mediane

Messaggio da Simo_the_wolf » 11 gen 2006, 16:07

Dato un triangolo $ ABC $ e siano $ MA $, $ NB $, $ LC $ le sue mediane. Dimostrare che, se traslate, allora esse formeranno un triangolo detto 'triangolo delle mediane'.

Dimostrare che l'area di questo triangolo e' $ \displaystyle \frac 34 $ dell'area del triangolo $ ABC $.

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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 16 gen 2006, 20:50

Per la prima parte noto che:

Sia un triangolo di vertici A;B;C
e punti medi dei lati: $ \frac{B+C}{2} $ ; $ \frac{A+C}{2} $ ; $ \frac{A+B}{2} $

ottengo

$ A-\frac{B+C}{2}+B-\frac{A+C}{2}+C-\frac{B+A}{2} $ =0

ovvero le mediane (considerate come vettori) che sono :
$ A-\frac{B+C}{2} $;
$ B-\frac{A+C}{2} $;
$ C-\frac{A+B}{2} $;

traslate nel modo giusto costituiscono un "percorso chiuso" ovvero un triangolo.

Fisso ora
A(0,0)
B(1;0)
C(x;y)
in questo modo considero tutti i triangoli a meno di dilatazione.
I punti medi risultano (non ho usato le lettere del testo ma M,M_1,M_2) :
$ M(\frac{x}{2};\frac{y}{2}) $
$ M_1(\frac{x+1}{2};\frac{y}{2}) $
$ M_2(\frac{1}{2};0) $

ABC ha area $ \frac{y}{2} $

le mediane sono lunghe:

$ \sqrt{(\frac{x-2}{2})^2+\frac{y^2}{4}} $
$ \sqrt{(\frac{x+1}{2})^2+\frac{y^2}{4}} $
$ \sqrt{(\frac{2x-1}{2})^2+y^2} $

e per Erone l’area del triangolo delle mediane vale:
A = $ \frac{1}{4} $ $ \sqrt{ $$ ((\frac{x-2}{2})^2+\frac{y^2}{4}+(\frac{x+1}{2})^2+\frac{y^2}{4}+(\frac{2x-1}{2})^2+y^2)^2 $$ -2(((\frac{2x-1}{2})^2+y^2)^2+((\frac{x+1}{2})^2+\frac{y^2}{4})^2+((\frac{x-2}{2})^2+\frac{y^2}{4})^2)} $ =
dopo qualche passaggio (una paginetta di contazzi insomma :roll: ) ..
$ \frac{6}{16}y $
ovvero il rapporto tra le aree dei due triangoli è $ \frac{3}{4} $

forse con un'affinità si faceva prima?

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