2 al cubo fa 8 (o più)

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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EvaristeG
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2 al cubo fa 8 (o più)

Messaggio da EvaristeG » 02 gen 2006, 13:10

Siano $ \alpha,\beta,\gamma $ gli angoli di un triangolo.
Dimostrare che

$ \displaystyle{0<\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\leq\frac{1}{8}} $

e dire quando vale l'uguaglianza.

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Boll
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Brute force is THE way

Messaggio da Boll » 02 gen 2006, 15:57

Lemma 1
La funzione $ f(x)=\ln \left( \sin \dfrac{x}{2}\right) $ è concava per $ x\in \mathbb{R}^{+} $, derivatevela o fidatevi

Dimostrazione (parte sinistra)

Per dimostrare che il prodotto dei tre seni dimezzati è sempre positivo, ci basta affermare che, in un triangolo, detto $ k $ un'angolo qualsiasi
$ 0\le k \le \pi $
$ 0\le \dfrac{k}{2}\le \dfrac{\pi}{2} $
per la crescenza della funzione seno in quell'intervallo
$ 0\le \sin\left(\dfrac{k}{2}\right)\le 1 $
Il prodotto di tre numeri maggiori di zero è maggiore di zero e, se il triangolo non è degenere, è impossibile che un angolo sia di 0 gradi, quindi che compaia uno zero.

Dimostrazione (parte destra)

Per la disuguaglianza di Jensen concavo
$ \ln \left( \sin \dfrac{A}{2}\right)+\ln \left( \sin \dfrac{B}{2}\right)+\ln \left( \sin \dfrac{C}{2}\right) $$ \le 3*\ln \left( \sin \dfrac{A+B+C}{6}\right) $
$ \ln \left( \sin \dfrac{A}{2}\right) \left( \sin \dfrac{B}{2}\right) \left( \sin \dfrac{C}{2}\right) $$ \le 3*\ln \left( \sin \dfrac{A+B+C}{6}\right) $
sfruttando la crescenza del logaritmo
$ \left( \sin \dfrac{A}{2}\right) \left( \sin \dfrac{B}{2}\right) \left( \sin \dfrac{C}{2}\right) $$ \le \left( \sin^3 \dfrac{\pi}{6}\right) $
$ \sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2} \sin \dfrac{C}{2}\le \dfrac{1}{8} $

l'uguaglianza vale per $ A=B=C $, quindi triangolo equilatero
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 02 gen 2006, 18:06

Naaa, c'è di meglio

Leandro
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Messaggio da Leandro » 02 gen 2006, 19:27

Abbiamo:
$ \displaystyle \lambda=sin \frac{\alpha}{2} sin \frac{\beta}{2}sin \frac{\gamma}{2}=\frac {1}{2}[cos \frac{\alpha-\beta}{2}-cos \frac{\alpha+\beta}{2}]cos \frac{\alpha+\beta}{2} $
da cui:
$ \displaystyle cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2}-(cos \frac{\alpha-\beta}{2})cos \frac{\alpha+\beta}{2}+2 \lambda=0 $
Poiche l'equazione precedente ha sicuramente radici reali, deve essere:
$ \displaystyle cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2}-8 \lambda \geq 0 $
e da qui:
$ \displaystyle \lambda \leq \frac{1}{8} cos^2 \frac{\alpha-\beta}{2} \leq \frac{1}{8} $
L'eguaglianza si ha quando e':
$ \displaystyle \alpha=\beta,cos \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{1}{2} $
ovvero quando il triangolo e' equilatero.
Leandro.

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Messaggio da EvaristeG » 02 gen 2006, 19:53

Hmm ok, ecco la mia

$ \displaystyle{\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}} $

con s semiperimetro.

Quindi si ottiene immediatamente la disug a sinistra e si ha che il prodotto dei seni degli angoli metà è uguale a
$ \displaystyle{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}=\frac{\frac{S}{s}}{\frac{abc}{S}}=\frac{r}{4R}\leq\frac{1}{8} $
Sempre per il fatto che $ R\geq 2r $ e l'uguaglianza si ha solo se il triangolo è equilatero.

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