proiezione costante

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sprmnt21
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proiezione costante

Messaggio da sprmnt21 » 02 gen 2006, 09:47

Sia ABC un traingolo ed O il centro del cerchio circoscritto. Se D e' un punto su AO ed E un punto su AB sia F l'intersezione di c(AED) con AC. Provare che la proiezione ortogonale di EF su BC e' di lunghezza costante indipendentemente dalla scelta di E su AB.

Leandro
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Messaggio da Leandro » 02 gen 2006, 18:28

Immagine
Suppongo ABC acutangolo ma penso che le considerazioni seguenti valgano anche nel caso generale (con qualche accorgimento).
Indichiamo con:
a,b,c gli angoli di ABC;AEF=x;H la proiezione ortogonale di F su EG (che e' la parallela per E a BC).
Dal triangolo AED si ha:
AE =AD*sin(a+x)/cos(b-x)
e da AEF:
EF=AE*sin(a)/sin(a+x)=AD*sin(a)/cos(b-x)
Pertanto dal triangolo rettangolo EFH si ricava:
EH=EF*cos(b-x)=AD*sin(a)
da cui si vede che EH dipende solo dalla posizione di D.
Leandro.

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 03 gen 2006, 14:18

e' possibile (almeno) una dimostrazione sintetica!

Leandro
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Messaggio da Leandro » 03 gen 2006, 17:02

Figuriamoci! Quasi,quasi questa mia schifosissima soluzione
la cancello!
Leandro

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 04 gen 2006, 15:46

Leandro ha scritto:Figuriamoci! Quasi,quasi questa mia schifosissima soluzione
la cancello!
Leandro
ma no :-).


la tua soluzione e' molto buona (volendo essere veloci e sicuri di giungere a meta, a volte la via migliore e' quella trigonometrica). Visto che non si tratta di una gara, volevo solo stimolare altri interventi.

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